Teorema

En matemáticas y lógica formal , un teorema es una afirmación que ha sido probada o puede ser probada. ^{[ a ] ​​[ 2 ] [ 3 ]} La prueba de un teorema es un argumento lógico que utiliza las reglas de inferencia de un sistema deductivo para establecer que el teorema es una consecuencia lógica de los axiomas y teoremas previamente probados.

En las matemáticas convencionales, los axiomas y las reglas de inferencia suelen quedar implícitos y, en este caso, son casi siempre los de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), o de una teoría menos potente, como la aritmética de Peano . ^{[ b ]} Generalmente, una afirmación que se denomina explícitamente teorema es un resultado demostrado que no es una consecuencia inmediata de otros teoremas conocidos. Además, muchos autores califican como teoremas solo los resultados más importantes y utilizan los términos lema , proposición y corolario para los teoremas menos importantes.

En lógica matemática , los conceptos de teoremas y demostraciones se han formalizado para permitir el razonamiento matemático sobre ellos. En este contexto, los enunciados se convierten en fórmulas bien formadas de algún lenguaje formal . Una teoría consta de algunos enunciados básicos llamados axiomas y algunas reglas de deducción (a veces incluidas en los axiomas). Los teoremas de la teoría son los enunciados que se pueden derivar de los axiomas utilizando las reglas de deducción. ^{[ c ]} Esta formalización condujo a la teoría de la demostración , que permite demostrar teoremas generales sobre teoremas y demostraciones. En particular, los teoremas de incompletitud de Gödel muestran que toda teoría consistente que contiene los números naturales tiene enunciados verdaderos sobre los números naturales que no son teoremas de la teoría (es decir, no se pueden demostrar dentro de la teoría).

Como los axiomas suelen ser abstracciones de propiedades del mundo físico , los teoremas pueden considerarse como expresiones de alguna verdad, pero a diferencia de la noción de una ley científica , que es experimental , la justificación de la verdad de un teorema es puramente deductiva . ^{[ 6 ] [ d ]} Una conjetura es una proposición tentativa que puede evolucionar hasta convertirse en un teorema si se demuestra que es verdadera.

Hasta finales del siglo XIX y la crisis fundacional de las matemáticas , todos los teoremas matemáticos se construían a partir de unas pocas propiedades básicas consideradas evidentes, como el hecho de que todo número natural tiene un sucesor o que existe exactamente una línea que pasa por dos puntos distintos dados, o las reglas de inferencia lógica utilizadas para combinar estos hechos en la demostración de un teorema. Estas propiedades básicas, consideradas absolutamente evidentes, se denominaban postulados o axiomas , por ejemplo, los postulados de Euclides . Todos los teoremas se demostraban utilizando estas propiedades básicas de forma implícita o explícita. Y dado que estas propiedades básicas se consideraban evidentes, un teorema demostrado se consideraba una verdad definitiva, a menos que hubiera un error en la demostración. Por ejemplo, Euclides demostró a partir de unos pocos axiomas y postulados que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, y esto se consideraba un hecho incuestionable.

Un aspecto de la crisis fundacional de las matemáticas fue el descubrimiento de geometrías no euclidianas, creadas al modificar el quinto postulado de Euclides. Estas geometrías no generan contradicciones internas, aunque en ellas la suma de los ángulos de un triángulo es distinta de 180°. En otras palabras, la propiedad «la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°» puede ser verdadera o falsa, dependiendo de si se acepta o se niega el quinto postulado de Euclides. De manera similar, en el siglo XIX, el uso de algunas propiedades básicas «evidentes» de los conjuntos condujo a la contradicción de la paradoja de Russell . Esta contradicción se ha resuelto modificando los axiomas permitidos para la manipulación de conjuntos.

En general, la crisis del siglo XIX se resolvió revisando los fundamentos de las matemáticas para hacerlos más rigurosos . En estos nuevos fundamentos, un teorema es una fórmula bien formada de una teoría matemática que puede demostrarse a partir de los axiomas y las reglas de inferencia de la teoría. Así, el teorema anterior sobre la suma de los ángulos de un triángulo se convierte en: Bajo los axiomas y las reglas de inferencia de la geometría euclidiana , la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° . De manera similar, la paradoja de Russell desaparece porque, en la teoría de conjuntos axiomatizada moderna, el conjunto de todos los conjuntos no puede expresarse con una fórmula bien formada. Más precisamente, si el conjunto de todos los conjuntos pudiera expresarse con una fórmula bien formada, esto implicaría que la teoría es inconsistente , y toda afirmación bien formada, así como su negación, sería un teorema.

En este contexto, la validez de un teorema depende únicamente de la corrección de su demostración. Es independiente de la verdad, e incluso del significado de los axiomas en el "mundo real". Esto no significa que el significado de los axiomas carezca de interés, sino solo que la validez de un teorema es independiente de dicho significado. Esta independencia puede resultar útil al permitir el uso de resultados de alguna rama de las matemáticas en áreas aparentemente no relacionadas.

Una consecuencia importante de esta forma de concebir las matemáticas es que permite definir teorías y teoremas matemáticos como objetos matemáticos y demostrar teoremas sobre ellos. En particular, existen afirmaciones bien formuladas que pueden demostrarse que no son teoremas de la teoría ambiente, aunque sí pueden demostrarse en una teoría más amplia. Un ejemplo es el teorema de Goodstein , que puede enunciarse en la aritmética de Peano , pero se demuestra que no es demostrable en dicha aritmética. Sin embargo, sí es demostrable en algunas teorías más generales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Muchos teoremas matemáticos son enunciados condicionales, cuyas demostraciones deducen conclusiones a partir de condiciones conocidas como hipótesis o premisas . Desde la perspectiva de la interpretación de la demostración como justificación de la verdad, la conclusión suele considerarse una consecuencia necesaria de las hipótesis. Es decir, que la conclusión es verdadera si las hipótesis son verdaderas, sin más suposiciones. Sin embargo, el condicional también puede interpretarse de forma diferente en ciertos sistemas deductivos , dependiendo de los significados asignados a las reglas de derivación y al símbolo condicional (por ejemplo, en la lógica no clásica ).

Aunque los teoremas pueden escribirse de forma completamente simbólica (por ejemplo, como proposiciones en el cálculo proposicional ), a menudo se expresan de manera informal en un lenguaje natural como el inglés para facilitar su lectura. Lo mismo ocurre con las demostraciones, que suelen expresarse como argumentos informales, organizados lógicamente y redactados con claridad, con el fin de convencer a los lectores de la veracidad del enunciado del teorema sin lugar a dudas, y a partir de los cuales, en principio, se puede construir una demostración simbólica formal.

Además de ser más legibles, los argumentos informales suelen ser más fáciles de comprobar que los puramente simbólicos; de hecho, muchos matemáticos prefieren una demostración que no solo muestre la validez de un teorema, sino que también explique de alguna manera por qué es evidentemente cierto. En algunos casos, incluso se puede fundamentar un teorema utilizando una imagen como prueba.

Dado que los teoremas constituyen la base de las matemáticas, también son fundamentales para su estética . A menudo se describen como «triviales», «difíciles», «profundos» o incluso «bellos». Estos juicios subjetivos varían no solo de persona a persona, sino también con el tiempo y la cultura: por ejemplo, a medida que se obtiene, simplifica o comprende mejor una demostración, un teorema que antes era difícil puede volverse trivial. ^{[ 7 ]} Por otro lado, un teorema profundo puede enunciarse de forma sencilla, pero su demostración puede implicar conexiones sorprendentes y sutiles entre áreas dispares de las matemáticas. El Último Teorema de Fermat es un ejemplo particularmente conocido de este tipo de teorema. ^{[ 8 ]}

Lógicamente , muchos teoremas tienen la forma de un condicional indicativo : Si A, entonces B. Dicho teorema no afirma B , sino solo que B es una consecuencia necesaria de A.En este caso, A se denomina hipótesis del teorema (aquí, "hipótesis" significa algo muy diferente de una conjetura ), y B la conclusión del teorema. Ambas juntas (sin la demostración) se denominan proposición o enunciado del teorema (por ejemplo, " Si A, entonces B " es la proposición ). Alternativamente, A y B también pueden denominarse antecedente y consecuente , respectivamente. ^{[ 9 ]} El teorema "Si n es un número natural par , entonces n /2 es un número natural" es un ejemplo típico en el que la hipótesis es " n es un número natural par" y la conclusión es " n /2 también es un número natural".

Para que un teorema pueda demostrarse, en principio debe poder expresarse como un enunciado formal y preciso. Sin embargo, los teoremas suelen expresarse en lenguaje natural en lugar de en forma completamente simbólica, partiendo de la premisa de que un enunciado formal puede derivarse del informal.

En matemáticas, es común elegir una serie de hipótesis dentro de un lenguaje dado y declarar que la teoría consiste en todos los enunciados demostrables a partir de dichas hipótesis. Estas hipótesis constituyen la base fundamental de la teoría y se denominan axiomas o postulados. El campo de las matemáticas conocido como teoría de la demostración estudia los lenguajes formales, los axiomas y la estructura de las demostraciones.

Algunos teoremas son « triviales », en el sentido de que se derivan de definiciones, axiomas y otros teoremas de forma obvia y no contienen ninguna idea sorprendente. Otros, en cambio, pueden llamarse «profundos», porque sus demostraciones pueden ser largas y difíciles, involucrar áreas de las matemáticas superficialmente distintas del enunciado del teorema en sí, o mostrar conexiones sorprendentes entre áreas dispares de las matemáticas. ^{[ 10 ]} Un teorema puede ser sencillo de enunciar y, sin embargo, profundo. Un excelente ejemplo es el Último Teorema de Fermat , ^{[ 8 ]} y existen muchos otros ejemplos de teoremas sencillos pero profundos en teoría de números y combinatoria , entre otras áreas.

Otros teoremas tienen una demostración conocida que no se puede escribir fácilmente. Los ejemplos más destacados son el teorema de los cuatro colores y la conjetura de Kepler . Ambos teoremas solo se conocen como verdaderos reduciéndolos a una búsqueda computacional que luego es verificada por un programa de computadora. Inicialmente, muchos matemáticos no aceptaron esta forma de demostración, pero se ha vuelto más aceptada. El matemático Doron Zeilberger incluso ha llegado a afirmar que estos son posiblemente los únicos resultados no triviales que los matemáticos han demostrado. ^{[ 11 ]} Muchos teoremas matemáticos se pueden reducir a un cálculo más directo, incluidas las identidades polinómicas, las identidades trigonométricas ^{[ e ]} y las identidades hipergeométricas. ^{[ 12 ]}

Los teoremas matemáticos y las teorías científicas difieren fundamentalmente en su epistemología . Una teoría científica no puede probarse; su atributo clave es la falsabilidad , es decir, formula predicciones sobre el mundo natural que pueden comprobarse experimentalmente . Cualquier discrepancia entre la predicción y el experimento demuestra la incorrección de la teoría científica, o al menos limita su precisión o ámbito de validez. Los teoremas matemáticos, en cambio, son enunciados formales puramente abstractos: la demostración de un teorema no puede implicar experimentos ni otras pruebas empíricas del mismo modo que dichas pruebas se utilizan para respaldar las teorías científicas. ^{[ 6 ]}

No obstante, el descubrimiento de teoremas matemáticos implica cierto grado de empirismo y recopilación de datos. Al establecer un patrón, a veces con la ayuda de una computadora potente, los matemáticos pueden tener una idea de qué demostrar e, incluso, en algunos casos, un plan para llevar a cabo la demostración. También es posible encontrar un único contraejemplo y, de este modo, demostrar la imposibilidad de una demostración de la proposición tal como está planteada, y posiblemente sugerir formas restringidas de la proposición original que sí podrían tener demostraciones factibles.

Por ejemplo, tanto la conjetura de Collatz ^como la hipótesis de Riemann son problemas sin resolver bien conocidos; se han estudiado exhaustivamente mediante comprobaciones empíricas, pero siguen sin demostrarse. La conjetura de Collatz se ha verificado para valores iniciales de hasta aproximadamente 2,88  ×  10¹⁸ . La hipótesis de Riemann se ha verificado para los primeros 10 billones de ceros no triviales de la función zeta . Aunque la mayoría de los matemáticos pueden tolerar suponer que la conjetura y la hipótesis son ciertas, ninguna de estas proposiciones se considera demostrada. 

Tal evidencia no constituye prueba. Por ejemplo, la conjetura de Mertens es una afirmación sobre los números naturales que ahora se sabe que es falsa, pero no se conoce ningún contraejemplo explícito (es decir, un número natural n para el cual la función de Mertens M ( n ) sea igual o mayor que la raíz cuadrada de n ): todos los números menores que ^10¹⁴ tienen la propiedad de Mertens, y el número más pequeño que no tiene esta propiedad solo se sabe que es menor que la exponencial de 1,59 ^{× 10⁴⁰}  ,  que es aproximadamente 10 elevado a la potencia de 4,3 × 10³⁹ . Dado que el número de partículas en el universo generalmente se considera menor que 10 elevado a la potencia de 100 (un ^googol ) , no hay esperanza de encontrar un contraejemplo explícito mediante una búsqueda exhaustiva .  

El término «teoría» también existe en matemáticas para designar un conjunto de axiomas, definiciones y teoremas matemáticos, como por ejemplo en la teoría de grupos (véase teoría matemática ). Asimismo, existen «teoremas» en ciencia, especialmente en física, y en ingeniería, pero a menudo incluyen enunciados y demostraciones en los que las suposiciones físicas y la intuición desempeñan un papel importante; los axiomas físicos en los que se basan dichos «teoremas» son, a su vez, falsables.

Existen diversos términos para referirse a las expresiones matemáticas; estos términos indican el papel que desempeñan dichas expresiones en una disciplina específica. La distinción entre los distintos términos a veces es bastante arbitraria, y el uso de algunos de ellos ha evolucionado con el tiempo.

• Un axioma o postulado es una suposición fundamental sobre el objeto de estudio, que se acepta sin demostración. Un concepto relacionado es el de definición , que da significado a una palabra o frase en términos de conceptos conocidos. La geometría clásica distingue entre axiomas, que son enunciados generales, y postulados, que son enunciados sobre objetos geométricos. ^{[ 13 ]} Históricamente, los axiomas se consideraban « evidentes por sí mismos »; hoy en día, simplemente se asume su veracidad.
• Una conjetura es una afirmación no probada que se cree verdadera. Las conjeturas suelen hacerse públicas y reciben el nombre de quien las formula (por ejemplo, la conjetura de Goldbach y la conjetura de Collatz ). El término hipótesis también se usa en este sentido (por ejemplo, la hipótesis de Riemann ), que no debe confundirse con «hipótesis» como premisa de una demostración. En ocasiones, se utilizan otros términos, como «problema» , cuando no se está seguro de si la afirmación debe considerarse verdadera.
  • En ocasiones, el nombre que se le da comúnmente a un problema no coincide con lo que sería técnicamente más correcto. El Último Teorema de Fermat se denominó históricamente teorema, aunque durante siglos fue solo una conjetura. ^{[ 14 ]} Por el contrario, la conjetura de Poincaré todavía se suele llamar conjetura, a pesar de haber sido demostrada en 2002.
• Un teorema es una afirmación que ha sido probada como verdadera basándose en axiomas y otros teoremas.
• Una proposición es un teorema de menor importancia, o uno que se considera tan elemental o evidente que puede enunciarse sin demostración. Esto no debe confundirse con el término «proposición» utilizado en la lógica proposicional . En la geometría clásica, el término «proposición» se empleaba de forma diferente: en los Elementos de Euclides ( c. 300 a. C. ), todos los teoremas y construcciones geométricas se denominaban «proposiciones», independientemente de su importancia. 
• Un lema es una "proposición accesoria", una proposición con poca aplicabilidad fuera de su uso en una demostración particular. Con el tiempo, un lema puede adquirir importancia y ser considerado un teorema , aunque el término "lema" generalmente se mantiene como parte de su nombre (por ejemplo, el lema de Gauss , el lema de Zorn y el lema fundamental ).
• Un corolario es una proposición que se deduce inmediatamente de otro teorema o axioma, con poca o ninguna demostración requerida. ^{[ 15 ]} Un corolario también puede ser una reformulación de un teorema en una forma más simple, o para un caso especial : por ejemplo, el teorema "todos los ángulos internos de un rectángulo son ángulos rectos " tiene como corolario "todos los ángulos internos de un cuadrado son ángulos rectos " —siendo un cuadrado un caso especial de un rectángulo—.
• Una generalización de un teorema es un teorema con un enunciado similar pero de mayor alcance, del cual se puede deducir el teorema original como un caso particular (un corolario ). ^{[ f ]}

También pueden utilizarse otros términos por razones históricas o consuetudinarias, por ejemplo:

• Una identidad es un teorema que establece una igualdad entre dos expresiones, que se cumple para cualquier valor dentro de su dominio (por ejemplo, la identidad de Bézout y la identidad de Vandermonde ).
• Una regla es un teorema que establece una fórmula útil (por ejemplo, la regla de Bayes y la regla de Cramer ).
• Una ley o principio es un teorema con amplia aplicabilidad (por ejemplo, la ley de los grandes números , la ley de los cosenos , la ley cero-uno de Kolmogorov , el principio de Harnack , el principio del límite superior mínimo y el principio del palomar ). ^{[ g ]}

Algunos teoremas muy conocidos tienen nombres aún más peculiares, como por ejemplo el algoritmo de la división , la fórmula de Euler y la paradoja de Banach-Tarski .

En las publicaciones en inglés, un teorema (que a menudo se clasifica como proposición, lema o corolario y se etiqueta como tal) y su demostración se presentan típicamente de la siguiente manera:

Teorema. (Wiles, 1994) Sean x, y, z y n enteros tales que x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ y n ≥ 3 . Entonces xyz = 0 .

Demostración. [Inicio de la demostración]

[Continuación del texto de la prueba]

[......................................]

[Continuación del texto de la prueba] [Fin de la prueba]∎

El final de la prueba puede señalarse con las letras QED ( quod erat demonstrandum ) o con alguna de las marcas de lápida , como "□" o "∎", que significan "fin de la prueba", introducidas por Paul Halmos tras su uso en revistas para marcar el final de un artículo. ^{[ 16 ]}

El estilo exacto depende del autor o la publicación. Muchas publicaciones proporcionan instrucciones o macros para la composición tipográfica según el estilo de la empresa .

Es común que un teorema vaya precedido de definiciones que describan el significado exacto de los términos utilizados. También es común que un teorema vaya precedido de varias proposiciones o lemas que luego se utilizan en la demostración. Sin embargo, a veces los lemas se integran en la demostración de un teorema, ya sea mediante demostraciones anidadas o presentándose sus demostraciones después de la demostración del teorema.

Los corolarios de un teorema se presentan entre el teorema y la demostración, o inmediatamente después de la demostración. En ocasiones, los corolarios tienen sus propias demostraciones que explican por qué se derivan del teorema.

Se ha estimado que cada año se demuestran más de un cuarto de millón de teoremas. ^{[ 17 ]}

El conocido aforismo « Un matemático es un instrumento para convertir el café en teoremas» probablemente se deba a Alfréd Rényi , aunque a menudo se le atribuye a su colega Paul Erdős (y es posible que Rényi estuviera pensando en Erdős), famoso por los numerosos teoremas que formuló, la cantidad de sus colaboraciones y su afición al café. ^{[ 18 ]}

La clasificación de grupos simples finitos es considerada por algunos como la demostración más larga de un teorema. Consta de decenas de miles de páginas en 500 artículos de revistas científicas, escritos por unos 100 autores. Se cree que estos artículos, en conjunto, proporcionan una demostración completa, y varios proyectos en curso buscan acortarla y simplificarla. ^{[ 19 ]} Otro teorema de este tipo es el teorema de los cuatro colores, cuya demostración generada por computadora es demasiado larga para que la lea un ser humano. ^{[ 20 ]}

En lógica matemática , una teoría formal es un conjunto de enunciados dentro de un lenguaje formal . Un enunciado es una fórmula bien formada sin variables libres. Un enunciado que es miembro de una teoría es uno de sus teoremas, y la teoría es el conjunto de sus teoremas. Por lo general, se entiende que una teoría es cerrada bajo la relación de consecuencia lógica . Algunas explicaciones definen una teoría como cerrada bajo la relación de consecuencia semántica (${\displaystyle \models }$), mientras que otros lo definen como cerrado bajo la consecuencia sintáctica o relación de derivabilidad (${\displaystyle \vdash }$). ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

Para que una teoría sea cerrada bajo una relación de derivabilidad, debe estar asociada a un sistema deductivo que especifique cómo se derivan los teoremas. El sistema deductivo puede enunciarse explícitamente o deducirse del contexto. El cierre del conjunto vacío bajo la relación de consecuencia lógica produce el conjunto que contiene únicamente las proposiciones que constituyen los teoremas del sistema deductivo.

En el sentido amplio en que se usa el término dentro de la lógica, un teorema no tiene por qué ser verdadero, ya que la teoría que lo contiene puede ser inconsistente con respecto a una semántica dada o con respecto a la interpretación estándar del lenguaje subyacente. Una teoría inconsistente considera todas las oraciones como teoremas.

La definición de teoremas como enunciados de un lenguaje formal resulta útil en la teoría de la demostración , rama de las matemáticas que estudia la estructura de las demostraciones formales y de las fórmulas demostrables. También es importante en la teoría de modelos , que se ocupa de la relación entre las teorías formales y las estructuras capaces de proporcionarles una semántica mediante la interpretación .

Aunque los teoremas pueden ser enunciados sin interpretación, en la práctica los matemáticos están más interesados ​​en el significado de dichos enunciados, es decir, en las proposiciones que expresan. Lo que hace que los teoremas formales sean útiles e interesantes es que pueden interpretarse como proposiciones verdaderas y sus derivaciones como una prueba de su veracidad. Un teorema cuya interpretación es una afirmación verdadera sobre un sistema formal (a diferencia de dentro de un sistema formal) se denomina metateorema .

Algunos teoremas importantes en lógica matemática son:

• Compacidad de la lógica de primer orden
• Completitud de la lógica de primer orden
• Teoremas de incompletitud de Gödel para la aritmética de primer orden
• Consistencia de la aritmética de primer orden
• Teorema de indefinibilidad de Tarski
• Teorema de Church-Turing sobre la indecidibilidad
• Teorema de Löb
• Teorema de Löwenheim-Skolem
• Teorema de Lindström
• Teorema de Craig
• Teorema de eliminación de cortes

• Derecho (matemáticas)
• Lista de teoremas
• Lista de teoremas llamados fundamentales
• Fórmula
• Inferencia
• Teorema del juguete

• Chiswell, Ian; Hodges, Wilfred (2007). Lógica matemática . Oxford University Press.
• Hunter, Geoffrey (1996) [1971]. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic . University of California Press (publicado en 1973). ISBN 9780520023567OCLC 36312727​​ ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales ) .
• Mates, Benson (1972). Lógica elemental . Oxford University Press. ISBN 0-19-501491-X.

• Contenido multimedia relacionado con los teoremas en Wikimedia Commons.
• Weisstein, Eric W. "Teorema" . MundoMatemático .
• Teorema del día