Campo formalmente real

En matemáticas , en particular en teoría de cuerpos y álgebra real , un cuerpo formalmente real es un cuerpo que puede equiparse con un ordenamiento (no necesariamente único) que lo convierte en un cuerpo ordenado .

La definición anterior no es de primer orden , ya que requiere cuantificadores sobre conjuntos . Sin embargo, los siguientes criterios pueden codificarse como (infinitas) oraciones de primer orden en el lenguaje de los campos y son equivalentes a la definición anterior.

Un cuerpo formalmente real F es un cuerpo que satisface una de las siguientes propiedades equivalentes: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• −1 no es una suma de cuadrados en F. En otras palabras, el campo de F es infinito. (En particular, dicho campo debe tener característica 0, ya que en un campo de característica p el elemento −1 es una suma de 1s). Esto se puede expresar en lógica de primer orden mediante${\displaystyle \forall x_{1}(-1\neq x_{1}^{2})}$,${\displaystyle \forall x_{1}x_{2}(-1\neq x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$, etc., con una oración por cada número de variables.
• Existe un elemento de F que no es una suma de cuadrados en F , y la característica de F no es 2.
• Si la suma de los cuadrados de cualquier elemento de F es igual a cero, entonces cada uno de esos elementos debe ser cero.

Es fácil ver que estas tres propiedades son equivalentes. También es fácil ver que un cuerpo que admite un ordenamiento debe satisfacer estas tres propiedades.

Una demostración de que si F satisface estas tres propiedades, entonces F admite un ordenamiento, utiliza la noción de conos prepositivos y conos positivos. Supongamos que −1 no es una suma de cuadrados; entonces, un argumento del lema de Zorn muestra que el cono prepositivo de sumas de cuadrados puede extenderse a un cono positivo P ⊆ F. Se utiliza este cono positivo para definir un ordenamiento: a ≤ b si y solo si b − a pertenece a P. Dado que el cono positivo P no tiene por qué ser único, el ordenamiento tampoco tiene por qué serlo.

Un cuerpo formalmente real sin extensión algebraica propia formalmente real es un cuerpo cerrado real . ^{[ 3 ]} Si K es formalmente real y Ω es un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K , entonces hay un subcuerpo cerrado real de Ω que contiene a K. Un cuerpo cerrado real puede ordenarse de una manera única, ^{[ 3 ]} y los elementos no negativos son precisamente los cuadrados.

• Campo formalmente p-ádico

• Milnor, John ; Husemoller, Dale (1973). Formas bilineales simétricas . Springer. ISBN 3-540-06009-X.
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .