Fórmulas para generar ternas pitagóricas

Además de la fórmula de Euclides, se han desarrollado muchas otras fórmulas para generar ternas pitagóricas .

Aquí se describen las fórmulas de Euclides, Pitágoras y Platón para calcular ternas:

Los métodos que se describen a continuación aparecen en diversas fuentes, a menudo sin que se indique su origen.

Leonardo de Pisa ( c. 1170 – c. 1250 ) describió este método ^{[ 1 ] [ 2 ]} para generar ternas primitivas utilizando la secuencia de enteros impares consecutivos. ${\displaystyle 1,3,5,7,9,11,\ldots }$y el hecho de que la suma de los primeros n términos de esta secuencia es${\displaystyle n^{2}}$. Si k es el n -ésimo miembro de esta secuencia, entonces${\displaystyle n=(k+1)/2}$.

Elija cualquier número cuadrado impar k de esta secuencia (${\displaystyle k=a^{2}}$) y sea este cuadrado el n -ésimo término de la secuencia. Además, sea${\displaystyle b^{2}}$ser la suma de los anteriores${\displaystyle n-1}$términos, y dejar${\displaystyle c^{2}}$Sea la suma de todos los n términos. Entonces hemos establecido que${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$y hemos generado la tripleta primitiva [ a , b , c ] = [ a , ( a ² −1)/2, ( a ² +1)/2] . Este método produce un número infinito de tripletas primitivas, pero no todas.

EJEMPLO: Elegir${\displaystyle k=9=3^{2}=a^{2}}$Este número cuadrado impar es el quinto término de la secuencia, porque${\displaystyle 5=n=(a^{2}+1)/2}$La suma de los 4 términos anteriores es${\displaystyle b^{2}=4^{2}}$y la suma de todos${\displaystyle n=5}$los términos son${\displaystyle c^{2}=5^{2}}$dándonos${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$y la tripleta primitiva [ a, b, c ] = [3, 4, 5] .

Michael Stifel publicó el siguiente método en 1544. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Consideremos la secuencia de números mixtos.${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}},\,2{\tfrac {2}{5}},\,3{\tfrac {3}{7}},\,4{\tfrac {4}{9}},\,\ldots }$con${\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac {n}{2n+1}}}$Para calcular una terna pitagórica, tome cualquier término de esta secuencia y conviértalo en una fracción impropia (para números mixtos).${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}}}$, la fracción impropia correspondiente es${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}}$). Entonces, su numerador y denominador son los lados, b y a , de un triángulo rectángulo , y la hipotenusa es b + 1. Por ejemplo:

${\displaystyle 1{\tfrac {1}{3}}\rightarrow [3,4,5],\;2{\tfrac {2}{5}}\rightarrow [5,12,13],\;3{\tfrac {3}{7}}\rightarrow [7,24,25],\;4{\tfrac {4}{9}}\rightarrow [9,40,41],\;\ldots }$

Jacques Ozanam ^{[ 5 ]} republicó la secuencia de Stifel en 1694 y añadió la secuencia similar.${\displaystyle 1{\tfrac {7}{8}},\,2{\tfrac {11}{12}},\,3{\tfrac {15}{16}},\,4{\tfrac {19}{20}},\,\ldots }$con${\displaystyle a_{n}=n+{\tfrac {4n+3}{4n+4}}}$Como antes, para formar una terna a partir de esta secuencia, se toma cualquier término y se convierte en una fracción impropia. Entonces, su numerador y denominador son los lados, b y a , de un triángulo rectángulo, y la hipotenusa es b + 2. Por ejemplo:

${\displaystyle 1{\tfrac {7}{8}}\rightarrow [8,15,17],\;2{\tfrac {11}{12}}\rightarrow [12,35,37],\;3{\tfrac {15}{16}}\rightarrow [16,63,65],\;4{\tfrac {19}{20}}\rightarrow [20,99,101],\;\ldots }$

Con a como el cateto más corto y b como el más largo de un triángulo, y c como su hipotenusa, la familia de ternas de Pitágoras se define por c − b = 1 , la familia de Platón por c − b = 2 , y la familia de Fermat por | a − b | = 1. La sucesión de Stifel (equivalente a las ternas { k^2+(k+1)^2 -1, 2 k + 1, k^2+(k+1)^2 } para k natural ) produce todas las ternas primitivas de la familia de Pitágoras, y la sucesión de Ozanam (equivalente a las ternas { 4 k^2- 1, 4 k, 4 k^2 + 1 } para k >1) produce todas las ternas primitivas de la familia de Platón. Las ternas de la familia de Fermat deben hallarse por otros medios.

Leonard Eugene Dickson (1920) ^{[ 6 ]} se atribuye el siguiente método para generar ternas pitagóricas. Para encontrar soluciones enteras a${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$, encontrar enteros positivos r , s y t tales que${\displaystyle r^{2}=2st}$es un cuadrado perfecto. Entonces:

${\displaystyle x=r+s\,,\,y=r+t\,,\,z=r+s+t.}$

De esto vemos que r es cualquier entero par y que s y t son factores de r² /2 ^. Este método no produce todas las ternas pitagóricas ( [5, 12, 13] no se genera, por ejemplo). Cuando s y t son coprimos, la terna será primitiva. Josef Rukavicka, J. (2013) presentó una demostración sencilla del método de Dickson. ^{[ 7 ]}

Ejemplo: Elija r = 6. Entonces r² /2 = 18. Los tres pares de factores de 18 son ( ¹ , 18), (2, 9) y (3, 6). Los tres pares de factores producirán ternas utilizando las ecuaciones anteriores.

s = 1 , t = 18 produce la tripleta [7, 24, 25] porque x = 6 + 1 = 7 , y = 6 + 18 = 24 , z = 6 + 1 + 18 = 25 .

s = 2 , t = 9 produce la tripleta [8, 15, 17] porque x = 6 + 2 = 8 , y = 6 + 9 = 15 , z = 6 + 2 + 9 = 17 .

La operación s = 3 , t = 6 produce la terna [9, 12, 15] porque x = 6 + 3 = 9 , y = 6 + 6 = 12 , z = 6 + 3 + 6 = 15. (Como s y t no son coprimos, esta terna no es primitiva).

Existe un método para construir todas las ternas pitagóricas que contienen un entero positivo dado x como uno de los catetos del triángulo rectángulo asociado a la terna. Significa encontrar todos los triángulos rectángulos cuyos lados tienen medidas enteras, con un cateto predeterminado como un cateto dado . ^{[ 13 ]} Las fórmulas se leen de la siguiente manera.

con

${\displaystyle d\in C(x):={\begin{cases}D(x)&{\text{if }}x{\text{ is odd}}\\D(x)\cap P(x)&{\text{if }}x{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle D(x)=\left\{d\in \mathbb {N} \mid \ d\leq x{\text{ and }}d{\text{ divides }}x^{2}\right\},}$

y si x es par con x = 2 ⁿ k , n ∈ ℕ , y k ≥ 1 impar fijo, con

${\displaystyle P(x)=\left\{d\in \mathbb {N} \mid d=2^{s}l\ {\text{and}}\ l{\text{ divides }}x^{2}\ {\text{and}}\ s\in \left\{1,2,...,2n-1\right\}\right\}.}$

Es decir, con respecto a P ( x ) , d debe ser par y tal que x ² / d siga siendo divisible por 2 .

Además, ( x , y , z ) es una terna pitagórica primitiva si se verifican ambas condiciones siguientes: ^{[ 14 ]}

EJEMPLOS

Recordemos que las fórmulas de Euclides no dan todas las ternas pitagóricas que involucran un entero positivo predeterminado x , por ejemplo, las ternas (12,9,15) , (33,180,183) y (33,44,55) . Además, puede ser laborioso encontrar m y n tales que x = m² − n² ^. Mientras tanto, al usar ( 1 ), es suficiente encontrar todos los d ∈ C ( x ) para obtener todas las ternas pitagóricas. En particular, si necesitamos encontrar todas las ternas pitagóricas primitivas que involucran un entero positivo predeterminado ^x , entonces ahora podemos usar solo los d ∈ C ( x ) que satisfacen las condiciones ( 2 ).

Hay varios métodos para definir ecuaciones cuadráticas para calcular cada lado de una terna pitagórica. ^{[ 15 ]} Un método simple es modificar la ecuación euclidiana estándar agregando una variable x a cada par m y n . El par m , n se trata como una constante mientras que el valor de x varía para producir una "familia" de ternas basadas en la terna seleccionada. Se puede colocar un coeficiente arbitrario delante del valor de x en m o n , lo que hace que la ecuación resultante "salte" sistemáticamente a través de las ternas. Por ejemplo, considere la terna [20,21,29] , que se puede calcular a partir de las ecuaciones euclidianas con valores m = 5 y n = 2. También, coloque arbitrariamente el coeficiente de 4 delante de la x en el término m .

Sea m ₁ = (4 x + m ) , y sea n ₁ = ( x + n ) .

Por lo tanto, sustituyendo los valores de m y n :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Side }}A&=2m_{1}n_{1}&&=2(4x+5){\text{ }}(x+2)&&=8x^{2}+26x+20\\{\text{Side }}B&=m_{1}^{2}-n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}-(x+2)^{2}&&=15x^{2}+36x+21\\{\text{Side }}C&=m_{1}^{2}+n_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}+(x+2)^{2}&&=17x^{2}+44x+29\end{aligned}}}$

La terna original comprende el término constante en cada una de las ecuaciones cuadráticas respectivas. A continuación se muestra un ejemplo del resultado de estas ecuaciones. El efecto de estas ecuaciones es que el valor de m en las ecuaciones euclidianas se incrementa en pasos de 4, mientras que el valor de n se incrementa en 1.

Una terna pitagórica primitiva puede reconstruirse a partir de una tangente de medio ángulo. Elegimos r , un número racional positivo en (0, 1) , igual a tan A /2 para el ángulo interior A opuesto al lado de longitud a . Usando fórmulas de tangente de medio ángulo , se deduce inmediatamente que

${\displaystyle \alpha =\sin(A)={\frac {2r}{1+r^{2}}}\quad {\text{ and }}\quad \beta =\cos(A)={\frac {1-r^{2}}{1+r^{2}}}}$

son ambos racionales y que α² ⁺ β² = 1. ^{Multiplicando} por el entero más pequeño que elimina los denominadores de α y β se recupera la terna pitagórica primitiva original. En particular, si${\displaystyle \tan(A)=2r/(1-r^{2})}$se escribe como una fracción en su mínima expresión, será a / b .  

Cuando se desea que a < b , entonces r debe elegirse de manera que sea menor que ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$⁠ .

El ángulo interior B que es opuesto al lado de longitud b será el ángulo complementario de A. Podemos calcular

${\displaystyle s=\tan \left({\frac {B}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {A}{2}}\right)={\frac {1-r}{1+r}}}$

a partir de la fórmula para la tangente de la diferencia de ángulos. Usando s en lugar de r en las fórmulas anteriores se obtendrá la misma terna pitagórica primitiva, pero con a y b intercambiados.

Tenga en cuenta que r y s se pueden reconstruir a partir de a , b y c usando r = a / ( b + c ) y s = b / ( a + c ) .

Sea [ a , b , c ] una terna primitiva con un impar. Entonces _{, se pueden generar 3 nuevas ternas [a₁, b₁, c₁], [a₂ , b₂ ,} c₂ ] , [ a₃ , b₃ , c₃ ] a partir de [ _a , b , c _] mediante la _{multiplicación} de matrices y _las tres matrices A _, B y C de Berggren [ 11 ] . La terna ^{[ a ,} b , c ] se denomina progenitora de las tres nuevas ternas (los hijos ). Cada hijo es a su vez progenitor de otros 3 hijos , y así sucesivamente. Si se parte de la terna primitiva [ 3 , 4 , 5] , entonces todas las ternas primitivas se generarán finalmente mediante la aplicación de estas matrices. El resultado se puede representar gráficamente como un árbol ternario infinito con [ a , b , c ] en el nodo raíz. Se puede obtener un resultado equivalente utilizando las tres transformaciones lineales de Berggren que se muestran a continuación.

${\displaystyle {\overset {A}{\mathop {\left[{\begin{matrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\\\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {B}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {C}{\mathop {\left[{\begin{matrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

Las tres transformaciones lineales de Berggren son:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}-a+2b+2c=a_{1}\quad &-2a+b+2c=b_{1}\quad &-2a+2b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a+2b+2c={{a}_{2}}\quad &+2a+b+2c={{b}_{2}}\quad &+2a+2b+3c={{c}_{2}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{2}},{\text{ }}{{b}_{2}},{\text{ }}{{c}_{2}}\right]\\\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+a-2b+2c={{a}_{3}}\quad &+2a-b+2c={{b}_{3}}\quad &+2a-2b+3c={{c}_{3}}&\quad \to \left[{\text{ }}{{a}_{3}},{\text{ }}{{b}_{3}},{\text{ }}{{c}_{3}}\right]\\\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

Alternativamente, también se pueden utilizar 3 matrices diferentes encontradas por Price. ^{[ 10 ]} Estas matrices A ′ , B ′ , C ′ y sus transformaciones lineales correspondientes se muestran a continuación.

${\displaystyle {\overset {{A}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{1}\\b_{1}\\c_{1}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{B}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{2}\\b_{2}\\c_{2}\end{matrix}}\right],\quad {\text{ }}{\overset {{C}'}{\mathop {\left[{\begin{matrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\\\end{matrix}}\right]} }}\left[{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{3}\\b_{3}\\c_{3}\end{matrix}}\right]}$

Las tres transformaciones lineales de Price son:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{matrix}+2a+b-c=a_{1}\quad &-2a+2b+2c=b_{1}\quad &-2a+b+3c=c_{1}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{1},{\text{ }}b_{1},{\text{ }}c_{1}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a+b+c=a_{2}\quad &+2a-2b+2c=b_{2}\quad &+2a-b+3c=c_{2}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{2},{\text{ }}b_{2},{\text{ }}c_{2}\right]\end{matrix}}\\&{\begin{matrix}+2a-b+c=a_{3}\quad &+2a+2b+2c=b_{3}\quad &+2a+b+3c=c_{3}&\quad \to \left[{\text{ }}a_{3},{\text{ }}b_{3},{\text{ }}c_{3}\right]\end{matrix}}\\&\end{aligned}}}$

Los 3 hijos producidos por cada uno de los dos conjuntos de matrices no son los mismos, pero cada conjunto produce por separado todas las ternas primitivas.

Por ejemplo, al usar [5, 12, 13] como padre se obtienen dos conjuntos de tres hijos:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\left[5,12,13\right]&\\A&B&C\\\left[45,28,53\right]&\left[55,48,73\right]&\left[7,24,25\right]\end{array}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\begin{array}{ccc}{}&\left[5,12,13\right]&{}\\A'&B'&C'\\\left[9,40,41\right]&\left[35,12,37\right]&\left[11,60,61\right]\end{array}}}$

Todas las ternas primitivas con b + 1 = c y con a impar se pueden generar de la siguiente manera: ^{[ 16 ]}

Wade y Wade ^{[ 17 ]} introdujeron por primera vez la categorización de las ternas pitagóricas por su altura, definida como c − b , vinculando 3,4,5 con 5,12,13 y 7,24,25 y así sucesivamente.

McCullough y Wade ^{[ 18 ]} extendieron este enfoque, que produce todas las ternas pitagóricas cuando k > h √ 2 / d : Escribimos un entero positivo h como pq ² con p libre de cuadrados y q positivo. Establecemos d = 2 pq si p es impar, o d = pq si p es par. Para todos los pares ( h , k ) de enteros positivos, las ternas vienen dadas por

${\displaystyle \left(h+dk,dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}},h+dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}}\right).}$

Las ternas primitivas ocurren cuando mcd( h , k ) = 1 y h = q ² con q impar o h =2 q ² .