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Articulo de referencia

Cinemática directa

Un brazo robótico articulado de seis grados de libertad utiliza la cinemática directa para posicionar la pinza. Las ecuaciones de cinemática directa definen la trayectoria del e...

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Un brazo robótico articulado de seis grados de libertad utiliza la cinemática directa para posicionar la pinza.
Las ecuaciones de cinemática directa definen la trayectoria del efector final de un robot PUMA al alcanzar las piezas.

En cinemática robótica , la cinemática directa se refiere al uso de las ecuaciones cinemáticas de un robot para calcular la posición del efector final a partir de valores específicos para los parámetros de las articulaciones . [ 1 ]

Las ecuaciones cinemáticas del robot se utilizan en robótica , videojuegos y animación . El proceso inverso, que calcula los parámetros articulares necesarios para alcanzar una posición específica del efector final, se conoce como cinemática inversa .

Cinemática hacia adelante frente a cinemática hacia atrás

Ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas para la cadena en serie de un robot se obtienen utilizando una transformación rígida [Z] para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y una transformación rígida separada [X] para definir las dimensiones de cada eslabón. El resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de articulaciones y eslabones desde la base de la cadena hasta su eslabón final, que se iguala a la posición especificada para el eslabón final,

[T]=[Z1][incógnita1][Z2][incógnita2]…[incógnitanorte−1][Znorte],{\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}

donde [T] es la transformación que ubica el eslabón final. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas de la cadena serial. [ 2 ]

En 1955, Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron una convención para la definición de las matrices de articulación [Z] y las matrices de enlace [X] para estandarizar el sistema de coordenadas para los enlaces espaciales. [ 3 ] [ 4 ] Esta convención posiciona el sistema de coordenadas de la articulación de manera que consista en un desplazamiento helicoidal a lo largo del eje Z.

[Zi]=TransZi⁡(di)PutrefacciónZi⁡(θi),{\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}

y posiciona el marco de enlace de manera que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje X,

[incógnitai]=Transincógnitai⁡(ai,i+1)Putrefacciónincógnitai⁡(αi,i+1).{\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}

Utilizando esta notación, cada enlace de transformación recorre un robot de cadena serial y puede describirse mediante la transformación de coordenadas ,

i−1Ti=[Zi][incógnitai]=TransZi⁡(di)PutrefacciónZi⁡(θi)Transincógnitai⁡(ai,i+1)Putrefacciónincógnitai⁡(αi,i+1),{\displaystyle {}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),}

donde θ i , d i , α i,i+1 y a i,i+1 se conocen como los parámetros de Denavit-Hartenberg .

Repaso de las ecuaciones cinemáticas

Las ecuaciones cinemáticas de una cadena serial de n eslabones, con parámetros de articulación θ i, vienen dadas por [ 5 ].

[T]=0Tnorte=∏i=1nortei−1Ti(θi),{\displaystyle [T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),}

dóndei−1Ti(θi){\displaystyle {}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})}es la matriz de transformación del marco de enlacei{\displaystyle i}para enlazari−1{\displaystyle i-1}En robótica, estos se describen convencionalmente mediante parámetros de Denavit-Hartenberg . [ 6 ]

Matriz de Denavit-Hartenberg

Las matrices asociadas a estas operaciones son:

TransZi⁡(di)=[10000100001di0001],PutrefacciónZi⁡(θi)=[porque⁡θi−pecado⁡θi00pecado⁡θiporque⁡θi0000100001].{\displaystyle \operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}

Similarmente,

Transincógnitai⁡(ai,i+1)=[100ai,i+1010000100001],Putrefacciónincógnitai⁡(αi,i+1)=[10000porque⁡αi,i+1−pecado⁡αi,i+100pecado⁡αi,i+1porque⁡αi,i+100001].{\displaystyle \operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}

El uso de la convención de Denavit-Hartenberg produce la matriz de transformación de enlaces, [ i-1 T i ] como

i−1⁡Ti=[porque⁡θi−pecado⁡θiporque⁡αi,i+1pecado⁡θipecado⁡αi,i+1ai,i+1porque⁡θipecado⁡θiporque⁡θiporque⁡αi,i+1−porque⁡θipecado⁡αi,i+1ai,i+1pecado⁡θi0pecado⁡αi,i+1porque⁡αi,i+1di0001],{\displaystyle \operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}

conocida como la matriz de Denavit-Hartenberg .

Animación por computadora

Las ecuaciones cinemáticas directas pueden utilizarse como método en gráficos por computadora 3D para animar modelos.

El concepto esencial de la animación cinemática directa es que las posiciones de partes específicas del modelo en un momento determinado se calculan a partir de la posición y orientación del objeto, junto con la información sobre las articulaciones del modelo articulado. Por ejemplo, si el objeto a animar es un brazo con el hombro fijo, la posición de la punta del pulgar se calcularía a partir de los ángulos de las articulaciones del hombro , codo , muñeca , pulgar y nudillo . Tres de estas articulaciones (el hombro, la muñeca y la base del pulgar) tienen más de un grado de libertad , que debe tenerse en cuenta. Si el modelo fuera una figura humana completa, la posición del hombro también tendría que calcularse a partir de otras propiedades del modelo.

La animación cinemática directa se distingue de la animación cinemática inversa por su método de cálculo: en la cinemática inversa, la orientación de las partes articuladas se calcula a partir de la posición deseada de ciertos puntos del modelo. También se diferencia de otros sistemas de animación en que el movimiento del modelo lo define directamente el animador, sin tener en cuenta ninguna ley física que pueda afectar al modelo, como la gravedad o las colisiones con otros modelos.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Paul, Richard (1981). Manipuladores robóticos: matemáticas, programación y control  : el control informático de manipuladores robóticos . MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 978-0-262-16082-7.
  2. ↑ JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
  3. ↑ J. Denavit y RS Hartenberg, 1955, "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basada en matrices." Trans ASME J. Appl. Mech, 23:215–221.
  4. ↑ Hartenberg, RS y J. Denavit. Síntesis cinemática de mecanismos articulados. Nueva York: McGraw-Hill, 1964. Disponible en línea a través de KMODDL.
  5. ↑ Jennifer Kay. "Introducción a las transformaciones homogéneas y la cinemática robótica" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 12 de abril de 2021. Consultado el 11 de septiembre de 2010 .
  6. ↑ Aprende sobre robots. "Cinemática directa de robots" . Consultado el 1 de febrero de 2007 .
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