Volatilidad a futuro

La volatilidad a plazo es una medida de la volatilidad implícita de un instrumento financiero durante un período futuro, extraída de la estructura temporal de la volatilidad (que se refiere a cómo difiere la volatilidad implícita para instrumentos financieros relacionados con diferentes vencimientos).

La varianza es el cuadrado de las diferencias entre las mediciones y la media , dividido por el número de muestras. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza . La desviación estándar de los rendimientos capitalizados continuamente de un instrumento financiero se denomina volatilidad .

La volatilidad (anual) del precio o tasa de un activo determinado durante un plazo que comienza desde${\displaystyle t_{0}=0}$Corresponde a la volatilidad al contado del activo subyacente para el plazo específico. Un conjunto de dichas volatilidades conforma una estructura temporal de volatilidad, similar a la curva de rendimiento . Del mismo modo que los tipos a plazo pueden derivarse de una curva de rendimiento, las volatilidades a plazo pueden derivarse de una estructura temporal de volatilidad determinada.

Dado que las variables aleatorias subyacentes para intervalos de tiempo no superpuestos son independientes , la varianza es aditiva (véase varianza ). Por lo tanto, para intervalos de tiempo anuales tenemos la volatilidad anualizada como

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2}+\sigma _{j-1,j}^{2})\\\Rightarrow \sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-\sum _{k=1}^{j-1}\sigma _{k-1,k}^{2}}},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle j=1,2,\ldots }$es el número de años y el factor${\displaystyle {\frac {1}{j}}}$escala la varianza para que sea anual

${\displaystyle \sigma _{i,\,j}}$es la volatilidad a futuro actual (en el momento 0) para el período${\displaystyle [i,\,j]}$

${\displaystyle \sigma _{0,\,j}}$la volatilidad spot para el vencimiento${\displaystyle j}$.

Para facilitar el cálculo y obtener una representación no recursiva, también podemos expresar la volatilidad a plazo directamente en términos de volatilidades al contado: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0,j}^{2}&={\frac {1}{j}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-1,j}^{2})\\&={\frac {j-1}{j}}\cdot {\frac {1}{j-1}}(\sigma _{0,1}^{2}+\sigma _{1,2}^{2}+\cdots +\sigma _{j-2,j-1}^{2})+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\&={\frac {j-1}{j}}\,\sigma _{0,j-1}^{2}+{\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}\\\Rightarrow {\frac {1}{j}}\sigma _{j-1,j}^{2}&=\sigma _{0,j}^{2}-{\frac {(j-1)}{j}}\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}^{2}&=j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}\\\sigma _{j-1,j}&={\sqrt {j\sigma _{0,j}^{2}-(j-1)\sigma _{0,j-1}^{2}}}\end{aligned}}}$

Siguiendo la misma línea argumental obtenemos en el caso general con${\displaystyle t_{0}<t<T}$por la volatilidad a futuro observada en el momento${\displaystyle t_{0}}$:

${\displaystyle \sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {(T-t_{0})\sigma _{t_{0},T}^{2}-(t-t_{0})\sigma _{t_{0},t}^{2}}{Tt}}}}$,

lo cual se simplifica en el caso de${\displaystyle t_{0}=0}$a

${\displaystyle \sigma _{t,T}={\sqrt {\frac {T\sigma _{0,T}^{2}-t\sigma _{0,t}^{2}}{Tt}}}}$.

La volatilidad del mercado a 90 días es del 18% y a 180 días del 16,6%. En nuestra notación tenemos${\displaystyle \sigma _{0,\,0.25}}$= 18% y${\displaystyle \sigma _{0,\,0.5}}$= 16,6% (considerando un año como 360 días). Queremos encontrar la volatilidad a futuro para el período que comienza el día 91 y termina el día 180. Usando la fórmula anterior y estableciendo${\displaystyle t_{0}=0}$obtenemos

${\displaystyle \sigma _{0.25,\,0.5}={\sqrt {\frac {0.5\cdot 0.166^{2}-0.25\cdot 0.18^{2}}{0.25}}}=0.1507\approx 15.1\%}$.