Fundamentos de la geometría diferencial

Fundamentos de Geometría Diferencial es un influyente libro de matemáticas en dos volúmenes sobre geometría diferencial, escrito por Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu . El primer volumen fue publicado en 1963 y el segundo en 1969 por Interscience Publishers. Ambos fueron reeditados en 1996 por Wiley Classics Library.

El primer volumen aborda las variedades , los fibrados , el análisis tensorial , las conexiones en fibrados y el papel de los grupos de Lie . También cubre la holonomía , el teorema de descomposición de De Rham y el teorema de Hopf-Rinow . Según la reseña de James Eells , posee un «excelente estilo expositivo» y consta de una «combinación especial de conceptos algebraicos , analíticos y geométricos ». Eells afirma que es «esencialmente un libro de texto (aunque no incluye ejercicios )». Se trata de un texto avanzado, con un «ritmo orientado a un curso de posgrado de un semestre».

El segundo volumen considera subvariedades de variedades riemannianas , el mapa de Gauss y la segunda forma fundamental . Continúa con geodésicas en variedades riemannianas, campos de Jacobi , el índice de Morse , los teoremas de comparación de Rauch y el teorema de Cartan-Hadamard . Luego asciende a variedades complejas , variedades de Kähler , espacios homogéneos y espacios simétricos . En una discusión sobre la representación de curvatura de clases características de fibrados principales ( teoría de Chern-Weil ), cubre clases de Euler , clases de Chern y clases de Pontryagin . El segundo volumen también recibió una reseña favorable de J. Eells en Mathematical Reviews .

Estos libros han recibido numerosas reseñas en las que se repiten tres temas.

• Es el libro definitivo . Las reseñas dicen que se considera "LA obra de referencia estándar del tema" ^{[ 1 ]} y que probablemente "se convierta en la referencia estándar para esta generación. Un tratamiento completo de los fundamentos y la exposición definitiva del punto de vista del haz principal". ^{[ 2 ]} También se describe como poseedor de "demostraciones completas y bien organizadas de los numerosos 'teoremas populares', el tratamiento sistemático y bien pensado de la teoría de las conexiones en haces de fibras principales y las notas finales que ofrecen un hábil panorama de los amplios horizontes". ^{[ 3 ]} Una reseña del Volumen II dice: "El libro contiene mucho material que no está disponible en forma de libro y que a veces no es fácilmente accesible". ^{[ 4 ]}

• Es débil en intuición geométrica . Las reseñas lo describen como de "abstracción austera" ^{[ 5 ]} , y se dice que algunos capítulos "forman parte de una conspiración para cegar la visión geométrica [de los lectores]" ^{[ 5 ]} . Otro crítico afirma que "no se hace el más mínimo intento de presentar al lector moderno las maravillosas ideas geométricas sobre la geometría riemanniana, iniciadas por Cartan" ^{[ 3 ] .}

• No es adecuado como introducción . Las reseñas dicen que "no tiene ejercicios, casi ningún ejemplo" ^{[ 3 ]} . También que "se espera que el lector tenga cierta familiaridad previa" ^{[ 5 ]} con la geometría diferencial y que "el primer capítulo es una introducción muy superficial a los conceptos básicos de variedades, tensores, grupos de Lie, álgebras de Lie y fibrados" ^{[ 6 ]} . Un crítico dice que "cualquiera que le imponga estos dos volúmenes a un principiante como texto introductorio sería culpable de cometer un acto de inhumanidad contra otro ser humano" ^{[ 1 ] .}