Cuatro tensores

En la relatividad especial, uno de los ejemplos no triviales más simples de un cuadritensor es el cuadridesplazamiento.

${\displaystyle x^{\mu }=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)}$

un cuadritensor con rango contravariante 1 y rango covariante 0. Los cuadritensores de este tipo se conocen generalmente como cuadrivectores . Aquí, el componente ^x₀ = ct da el desplazamiento de un cuerpo en el tiempo (el tiempo coordenado t se multiplica por la velocidad de la luz c, ^de modo que x₀ tiene dimensiones de longitud ) . Los componentes restantes del cuadridesplazamiento forman el vector de desplazamiento espacial ^x = ( x₁ , x₂ ^, x₃ ⁾ . ^{[ 1 ]}

El cuadrimomento para partículas masivas o sin masa es

${\displaystyle p^{\mu }=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {1}{c}}E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)}$

combinando su energía (dividida por c ) p ⁰ = E / c y el momento 3 p = ( p ¹ , p ² , p ³ ). ^{[ 1 ]}

Para una partícula con masa invariante${\displaystyle m_{0}}$, también conocida como masa en reposo , el momento lineal se define por

${\displaystyle p^{\mu }=m_{0}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$

con${\displaystyle \tau }$el tiempo propio de la partícula.

La masa relativista es${\displaystyle m=\gamma m_{o}}$con factor de Lorentz

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }}}$

El tensor métrico de Minkowski con una base ortonormal para la convención (−+++) es

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\,}$

Se utiliza para calcular el elemento de línea y para elevar y descender índices . Lo anterior se aplica a coordenadas cartesianas. En la relatividad general, el tensor métrico viene dado por expresiones mucho más generales para coordenadas curvilíneas.

El momento angular L = x ∧ p de una partícula con masa relativista m y momento relativista p (medido por un observador en un sistema de referencia del laboratorio ) se combina con otra cantidad vectorial N = m x − p t (sin un nombre estándar) en el tensor de momento angular relativista ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle M^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{pmatrix}}}$

con componentes

${\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}$

El tensor de energía-impulso de un continuo o campo generalmente toma la forma de un tensor de segundo orden y se suele denotar por T. El componente temporal corresponde a la densidad de energía (energía por unidad de volumen), los componentes espaciotemporales mixtos a la densidad de momento (momento por unidad de volumen) y las partes puramente espaciales al tensor de energía-impulso tridimensional.

El tensor del campo electromagnético combina el campo eléctrico E y el campo magnético B ^{[ 4 ].}

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

El tensor de desplazamiento electromagnético combina el campo de desplazamiento eléctrico D y la intensidad del campo magnético H de la siguiente manera ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

El tensor de magnetización - polarización combina los campos P y M ^{[ 4 ].}

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},}$

Los tres tensores de campo están relacionados por

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,}$

lo cual es equivalente a las definiciones de los campos D y H.

El momento dipolar eléctrico d y el momento dipolar magnético μ de una partícula se unifican en un único tensor ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&d_{x}&d_{y}&d_{z}\\-d_{x}&0&\mu _{z}/c&-\mu _{y}/c\\-d_{y}&-\mu _{z}/c&0&\mu _{x}/c\\-d_{z}&\mu _{y}/c&-\mu _{x}/c&0\end{pmatrix}},}$

El tensor de curvatura de Ricci es otro tensor de segundo orden.

En la relatividad general, existen tensores de curvatura que tienden a ser de orden superior, como el tensor de curvatura de Riemann y el tensor de curvatura de Weyl , que son ambos tensores de cuarto orden.