Semigrupo de cuatro espirales

En matemáticas , el semigrupo de cuatro espirales es un semigrupo especial generado por cuatro elementos idempotentes . Este semigrupo especial fue estudiado por primera vez por Karl Byleen en una disertación doctoral presentada a la Universidad de Nebraska-Lincoln en 1977. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Tiene varias propiedades interesantes: es uno de los ejemplos más importantes de semigrupos bisimples pero no completamente simples; ^{[ 3 ]} también es un ejemplo importante de un semigrupo regular fundamental ; ^{[ 2 ]} es un bloque de construcción indispensable de semigrupos regulares bisimples generados por idempotentes. ^{[ 2 ]} Un cierto semigrupo, llamado semigrupo de cuatro espirales doble , generado por cinco elementos idempotentes, también ha sido estudiado junto con el semigrupo de cuatro espirales. ^{[ 4 ] [ 2 ]}

El semigrupo de cuatro espirales, denotado por Sp ₄ , es el semigrupo libre generado por cuatro elementos a , b , c , y d que satisfacen las siguientes once condiciones: ^{[ 2 ]}

• a ² = a , b ² = b , c ² = c , d ² = d .
• ab = b , ba = a , bc = b , cb = c , cd = d , dc = c .
• da = d .

El primer conjunto de condiciones implica que los elementos a , b , c , d son idempotentes. El segundo conjunto de condiciones implica que a R b L c R d, donde R y L son las relaciones de Green en un semigrupo. La única condición del tercer conjunto se puede escribir como d ω ^l a , donde ω ^l es una relación de biorden definida por Nambooripad . El diagrama a continuación resume las diversas relaciones entre a , b , c , d :

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\mathcal {R}}&&\\&a&\longleftrightarrow &b&\\\omega ^{l}&{\Big \uparrow }&&{\Big \updownarrow }&{\mathcal {L}}\\&d&\longleftrightarrow &c&\\&&{\mathcal {R}}&&\end{matrix}}}$

Sea S el conjunto de todas las cuádruplas ( r , x , y , s ) donde r , s , ∈ { 0, 1 } y x e y son enteros no negativos y definamos una operación binaria en S mediante

${\displaystyle (r,x,y,s)*(t,z,w,u)={\begin{cases}(r,x-y+\max(y,z+1),\max(y-1,z)-z+w,u)&{\text{si }}s=0,t=1\\(r,x-y+\max(y,z),\max(y,z)-z+w,u)&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$

El conjunto S con esta operación es un semigrupo de matriz de Rees sobre el semigrupo bicíclico , y el semigrupo de cuatro espirales Sp ₄ es isomorfo a S . ^{[ 2 ]}

• Por definición, el semigrupo de cuatro espirales es un semigrupo generado idempotente ( Sp ₄ es generado por los cuatro idempotentes a , b , c , d .)
• El semigrupo de cuatro espirales es un semigrupo fundamental, es decir, la única congruencia en Sp ₄ que está contenida en la relación de Green H en Sp ₄ es la relación de igualdad.

El semigrupo fundamental de doble espiral de cuatro ejes , denotado por DSp ₄ , es el semigrupo generado por cinco elementos a , b , c , d , e que satisfacen las siguientes condiciones: ^{[ 2 ] [ 4 ]}

• a² ⁼ a , b² = b , c² = c , ^d² = d , e² ⁼ e​^​​^​​
• ab = b , ba = a , bc = b , cb = c , cd = d , dc = c , de = d , ed = e
• ae = e , ea = e

El primer conjunto de condiciones implica que los elementos a , b , c , d , e son idempotentes. El segundo conjunto de condiciones establece las relaciones de Green entre estos idempotentes, a saber, a R b L c R d L e . Las dos condiciones del tercer conjunto implican que e ω a donde ω es la relación de biorden definida como ω = ω ^l ∩ ω ^r .