espacio tetradimensional

El equivalente en 4D de un cubo se conoce como teseracto , que aquí se muestra girando en un espacio de cuatro dimensiones, pero proyectado en dos dimensiones para su visualización.

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Animado

Estático

El espacio tetradimensional (4D) es la extensión matemática del concepto de espacio tridimensional (3D). El espacio tridimensional es la abstracción más simple posible de la observación de que solo se necesitan tres números, llamados dimensiones , para describir el tamaño o la ubicación de los objetos en el mundo cotidiano. Este concepto de espacio ordinario se denomina espacio euclidiano porque se corresponde con la geometría de Euclides , que originalmente se abstrajo de las experiencias espaciales de la vida cotidiana.

Las ubicaciones individuales en el espacio euclidiano 4D se pueden dar como vectores o cuádruplas , es decir, como listas ordenadas de números como ( x , y , z , w ) . Por ejemplo, el volumen de una caja rectangular se obtiene midiendo y multiplicando su longitud, anchura y altura (a menudo etiquetadas como x , y y z ). Solo cuando dichas ubicaciones se unen para formar figuras más complejas emerge toda la riqueza y complejidad geométrica de los espacios 4D. Una muestra de esa complejidad se puede apreciar en la animación 2D adjunta de uno de los objetos 4D regulares más simples posibles , el teseracto , que es análogo al cubo 3D .

La idea de considerar el tiempo como la cuarta dimensión comenzó con las "Dimensiones" de Jean le Rond d'Alembert , publicadas en 1754 en la Encyclopédie, ou dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Que la mecánica física puede considerarse como algo que también ocurre en el tiempo fue postulado por Joseph-Louis Lagrange en 1755 y publicado en 1788 en su Mécanique analytique . ^{[ 3 ]}

Las matemáticas de 4D comenzaron en el siglo XIX. ^{[ 4 ]} La rotación de formas 3D sobre su imagen especular es posible en el espacio 4D fue realizada por August Ferdinand Möbius ^{[ 5 ]} en Der barycentrische Calcul publicado en 1827. ^{[ 6 ]} Una aritmética de cuatro dimensiones espaciales, llamada cuaterniones , fue definida por William Rowan Hamilton en 1843. Poco después, se introdujeron tesarinas y cocuaterniones como otras álgebras de cuatro dimensiones sobre R . Los espacios no euclidianos de dimensiones superiores fueron establecidos sobre una base sólida por la tesis de Bernhard Riemann de 1854 , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , en la que consideró un "punto" como cualquier secuencia de coordenadas ( x ₁ , ..., x _n ) .

Los espacios euclidianos de más de tres dimensiones fueron descritos por primera vez en 1852, cuando Ludwig Schläfli generalizó la geometría euclidiana a espacios de dimensión n , utilizando métodos tanto sintéticos como algebraicos. Descubrió todos los politopos regulares (análogos de dimensiones superiores de los sólidos platónicos ) que existen en espacios euclidianos de cualquier dimensión, incluyendo seis encontrados en el espacio de 4 dimensiones . ^{[ 7 ]} El trabajo de Schläfli fue publicado póstumamente en 1901 y permaneció prácticamente desconocido hasta la publicación de Regular Polytopes de HSM Coxeter en 1947. Durante ese intervalo, muchos otros también descubrieron espacios euclidianos de dimensiones superiores. Uno de los primeros divulgadores populares de la cuarta dimensión fue Charles Howard Hinton , quien comenzó en 1880 con su ensayo "¿ Qué es la cuarta dimensión? ", publicado en la revista de la Universidad de Dublín , en el que explicó el concepto de un " cubo de cuatro dimensiones " con una generalización paso a paso de las propiedades de las líneas, los cuadrados y los cubos. ^{[ a ] ​​[ 8 ]} Acuñó los términos teseracto , ana y kata en su libro Una nueva era del pensamiento e introdujo un método para visualizar la cuarta dimensión usando cubos en el libro Cuarta dimensión . ^{[ 9 ] [ 10 ]} 1886, Victor Schlegel describió ^{[ 11 ]} su método de visualización de objetos de cuatro dimensiones con diagramas de Schlegel .

El artículo de Hermann Minkowski de 1908 ^{[ 12 ]} que consolidaba el papel del tiempo como la cuarta dimensión del espaciotiempo proporcionó la base geométrica para las teorías de la relatividad especial y general de Einstein. ^{[ 13 ]} La geometría del espaciotiempo, al no ser euclidiana , es profundamente diferente de la explorada por Schläfli y popularizada por Hinton. Las ideas de Hinton inspiraron una fantasía sobre una "Iglesia de la Cuarta Dimensión" presentada por Martin Gardner en su columna "Juegos Matemáticos " de enero de 1962 en Scientific American . 1967, El álgebra asociativa de WR Hamilton fue la fuente de la ciencia del análisis vectorial en tres dimensiones como lo relata Michael J. Crowe en A History of Vector Analysis . El estudio del espacio de Minkowski requirió las matemáticas de Riemann, que son bastante diferentes de las del espacio euclidiano de cuatro dimensiones, y por lo tanto se desarrolló por líneas bastante diferentes. Esta separación era menos clara en el imaginario popular, ya que las obras de ficción y filosofía difuminaban la distinción, por lo que en 1973 HSM Coxeter se sintió obligado a escribir:

Representar la cuarta dimensión euclidiana como tiempo aporta poco o nada . De hecho, esta idea, desarrollada de forma tan atractiva por H.G. Wells en La máquina del tiempo , ha llevado a autores como John William Dunne ( Un experimento con el tiempo ) a una grave interpretación errónea de la teoría de la relatividad. La geometría del espacio-tiempo de Minkowski no es euclidiana y, por consiguiente, no guarda relación con la presente investigación.

Matemáticamente, un espacio de cuatro dimensiones es un espacio que necesita cuatro parámetros para especificar un punto en él. Por ejemplo, un punto general podría tener un vector de posición a , igual a

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.}$

Esto se puede escribir en términos de los cuatro vectores base estándar ( e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ ) , dados por

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},}$

por lo tanto el vector general a es

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Los vectores se suman, se restan y se escalan como en tres dimensiones.

El producto escalar del espacio euclidiano tridimensional se generaliza a cuatro dimensiones como

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}$

Se puede utilizar para calcular la norma o la longitud de un vector,

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},}$

y calcular o definir el ángulo entre dos vectores distintos de cero como

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.}$

El espaciotiempo de Minkowski es un espacio de cuatro dimensiones con una geometría definida por un emparejamiento no degenerado diferente del producto escalar:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.}$

Por ejemplo, la distancia al cuadrado entre los puntos (0,0,0,0) y (1,1,1,0) es 3 tanto en el espacio euclidiano como en el minkowskiano de 4 dimensiones, mientras que la distancia al cuadrado entre (0,0,0,0) y (1,1,1,1) es 4 en el espacio euclidiano y 2 en el espacio minkowskiano; al aumentar b _4, la distancia métrica disminuye. Esto da lugar a muchas de las conocidas "paradojas" aparentes de la relatividad.

El producto vectorial no se define en cuatro dimensiones. En su lugar, para algunas aplicaciones se utiliza el producto exterior , que se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}}$

Se trata de un espacio bivectorial _, cuyos bivectores en cuatro dimensiones forman un espacio lineal _de seis dimensiones con base ( e12 , e13 , _e14 , _e23 , _e24 , e34 ₎ . Pueden utilizarse para generar rotaciones en cuatro dimensiones.

En el espacio tridimensional que nos resulta familiar en la vida cotidiana, existen tres ejes de coordenadas —generalmente denominados x , y y z— , cada uno ortogonal (es decir, perpendicular) a los otros dos. Las seis direcciones cardinales en este espacio se denominan arriba , abajo , este , oeste , norte y sur . Las posiciones a lo largo de estos ejes se denominan altitud , longitud y latitud . Las longitudes medidas a lo largo de estos ejes se denominan altura , anchura y profundidad .

En comparación, el espacio tetradimensional tiene un eje de coordenadas adicional, ortogonal a los otros tres, que generalmente se denomina w . Para describir las dos direcciones cardinales adicionales, Charles Howard Hinton acuñó los términos ana y kata , a partir de las palabras griegas que significan "hacia arriba" y "desde abajo", respectivamente. ^{[ 9 ] : 160}

Como ya se mencionó, Hermann Minkowski aprovechó la idea de cuatro dimensiones para abordar la cosmología, incluyendo la velocidad finita de la luz . Al añadir una dimensión temporal al espacio tridimensional, especificó una perpendicularidad alternativa: la ortogonalidad hiperbólica . Esta noción dota a su espacio tetradimensional de una simultaneidad modificada , apropiada para las relaciones electromagnéticas de su cosmos. El universo de Minkowski superó los problemas asociados con la cosmología tradicional de espacio y tiempo absolutos, utilizada previamente en un universo de tres dimensiones espaciales y una temporal.

La geometría del espacio tetradimensional es mucho más compleja que la del espacio tridimensional, debido al grado de libertad adicional.

Así como en tres dimensiones hay poliedros formados por polígonos bidimensionales , en cuatro dimensiones hay policoras formadas por poliedros. En tres dimensiones, hay 5 poliedros regulares conocidos como sólidos platónicos . En cuatro dimensiones, hay 6 4-politopos regulares convexos , análogos de los sólidos platónicos. Al relajar las condiciones de regularidad, se generan otros 58 4-politopos uniformes convexos, análogos a los 13 sólidos arquimedianos semirregulares en tres dimensiones. Al relajar las condiciones de convexidad, se generan otros 10 4-politopos regulares no convexos.

En tres dimensiones, un círculo puede extruirse para formar un cilindro . En cuatro dimensiones, existen varios objetos cilíndricos diferentes. Una esfera puede extruirse para obtener un cilindro esférico (un cilindro con "tapas" esféricas, conocido como esferindro ), y un cilindro puede extruirse para obtener un prisma cilíndrico (un cubindro). ^{[ 15 ]} El producto cartesiano de dos círculos puede tomarse para obtener un duocilindro . Los tres pueden "rodar" en el espacio de cuatro dimensiones, cada uno con sus propiedades.

En tres dimensiones, las curvas pueden formar nudos , pero las superficies no (a menos que sean autointersecantes). Sin embargo, en cuatro dimensiones, los nudos formados con curvas se pueden desatar fácilmente desplazándolos en la cuarta dirección; pero las superficies 2D pueden formar nudos no triviales y no autointersecantes en el espacio 4D. ^{[ 16 ]} Debido a que estas superficies son bidimensionales, pueden formar nudos mucho más complejos que las cuerdas en el espacio 3D. La botella de Klein es un ejemplo de una superficie anudada de este tipo. Otra superficie de este tipo es el plano proyectivo real .

Hiperesfera

Proyección estereográfica de un toro de Clifford : el conjunto de puntos (cos( a ), sin( a ), cos( b ), sin( b )) , que es un subconjunto de la 3-esfera .

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Animado

Estático

El conjunto de puntos en el espacio euclidiano de 4 dimensiones _que tienen la misma distancia R de un punto fijo P₀ forma una hipersuperficie conocida como 3-esfera . El hipervolumen del espacio encerrado es:

${\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}}$

Esto forma parte de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en la relatividad general, donde R se sustituye por la función R ( t ), siendo t la edad cosmológica del universo. El aumento o la disminución de R con el tiempo implica la expansión o el colapso del universo, dependiendo de la densidad de masa en su interior. ^{[ 17 ]}

La investigación que utiliza realidad virtual revela que los humanos, a pesar de vivir en un mundo tridimensional, pueden, sin práctica especial, realizar juicios espaciales sobre segmentos de línea incrustados en un espacio tetradimensional, basándose en su longitud (unidimensional) y el ángulo (bidimensional) entre ellos. ^{[ 18 ]} Los investigadores señalaron que «los participantes en nuestro estudio tenían una práctica mínima en estas tareas, y sigue siendo una cuestión abierta si es posible obtener representaciones 4D más sostenibles, definitivas y ricas con una mayor experiencia perceptiva en entornos virtuales 4D». ^{[ 18 ]} En otro estudio, ^{[ 19 ]} se ha probado la capacidad de los humanos para orientarse en laberintos 2D, 3D y 4D. Cada laberinto constaba de cuatro segmentos de camino de longitud aleatoria y conectados con curvas aleatorias ortogonales, pero sin ramificaciones ni bucles (es decir, en realidad laberintos ). La interfaz gráfica se basó en el juego gratuito 4D Maze de John McIntosh. ^{[ 20 ]} Los participantes debían recorrer el camino y, finalmente, estimar la dirección lineal de regreso al punto de partida. Los investigadores descubrieron que algunos participantes lograron integrar mentalmente su recorrido después de practicar en 4D (los casos de menor dimensión se utilizaron para comparación y para que los participantes aprendieran el método).

Sin embargo, una revisión de 2020 subrayó que estos estudios se componen de una pequeña muestra de sujetos y principalmente de estudiantes universitarios. También señaló otros problemas que la investigación futura debe resolver: la eliminación de artefactos (estos podrían ser causados, por ejemplo, por estrategias para resolver la tarea requerida que no utilizan la representación 4D/razonamiento 4D y la retroalimentación proporcionada por los investigadores para acelerar el proceso de adaptación) y el análisis de la variabilidad entre sujetos (si la percepción 4D es posible, su adquisición podría estar limitada a un subconjunto de humanos, a un período crítico específico o a la atención o motivación de las personas). Además, no se ha determinado si existe una forma más apropiada de proyectar la 4 dimensión (porque no hay restricciones sobre cómo se puede proyectar la 4 dimensión). Los investigadores también plantearon la hipótesis de que la adquisición humana de la percepción 4D podría resultar en la activación de áreas visuales del cerebro y la corteza entorrinal . De ser así, sugieren que podría usarse como un fuerte indicador de la adquisición de la percepción del espacio 4D. Los autores también sugirieron utilizar una variedad de arquitecturas de redes neuronales diferentes (con diferentes supuestos a priori ) para comprender cuáles son o no capaces de aprender. ^{[ 21 ]}

Para comprender la naturaleza del espacio tetradimensional, se suele emplear un método llamado analogía dimensional . La analogía dimensional consiste en estudiar cómo se relacionan las ( n − 1 ) dimensiones con las n dimensiones, y luego inferir cómo se relacionarían las n dimensiones con las ( n + 1 ) dimensiones. ^{[ 22 ]}

Edwin Abbott utilizó la analogía dimensional en su libro Flatland , que narra la historia de un cuadrado que vive en un mundo bidimensional, como la superficie de una hoja de papel. Desde la perspectiva de este cuadrado, un ser tridimensional posee poderes aparentemente divinos, como la capacidad de sacar objetos de una caja fuerte sin abrirla (moviéndolos a través de la tercera dimensión), ver todo lo que desde la perspectiva bidimensional está oculto tras paredes y permanecer completamente invisible a tan solo unos centímetros de distancia en la tercera dimensión.

Aplicando la analogía dimensional, se puede inferir que un ser tetradimensional sería capaz de realizar hazañas similares desde la perspectiva tridimensional. Rudy Rucker ilustra esto en su novela Spaceland , en la que el protagonista se encuentra con seres tetradimensionales que demuestran tales poderes.

Oscuridad

Un concepto estrechamente relacionado con la proyección es la proyección de sombras.

Si se ilumina un objeto tridimensional, se proyecta una sombra bidimensional. Por analogía dimensional, la luz que incide sobre un objeto bidimensional en un mundo bidimensional proyectaría una sombra unidimensional, y la luz que incide sobre un objeto unidimensional en un mundo unidimensional proyectaría una sombra cero-dimensional, es decir, un punto sin luz. En sentido inverso, se puede inferir que la luz que incide sobre un objeto tetradimensional en un mundo tetradimensional proyectaría una sombra tridimensional.

Si la estructura alámbrica de un cubo se ilumina desde arriba, la sombra resultante sobre una superficie plana bidimensional es un cuadrado dentro de otro cuadrado con sus vértices conectados. De manera similar, si la estructura alámbrica de un teseracto se iluminara desde arriba (en la cuarta dimensión), su sombra sería la de un cubo tridimensional dentro de otro cubo tridimensional suspendido en el aire (una superficie plana desde una perspectiva tetradimensional). (Cabe destacar que, técnicamente, la representación visual que se muestra aquí es una imagen bidimensional de la sombra tridimensional de la figura alámbrica tetradimensional).

• Archibald, R. C (1914). "El tiempo como cuarta dimensión" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana : 409–412 .
• Andrew Forsyth (1930) Geometría de cuatro dimensiones , enlace desde Internet Archive .
• Gamow, George (1988). Uno, dos, tres... Infinito: Hechos y especulaciones de la ciencia (3.ª  ed.). Courier Dover Publications. pág.  68. ISBN 978-0-486-25664-1.Extracto de la página 68
• EH Neville (1921) La cuarta dimensión , Cambridge University Press , enlace de la colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan .

• Vídeos de "Dimensiones" que muestran varias formas diferentes de visualizar objetos de cuatro dimensiones.
• Artículo de Science News que resume los vídeos de "Dimensions", con fragmentos archivados el 29/09/2012 en Wayback Machine.
• Flatland: una novela de múltiples dimensiones (segunda edición)
• Animaciones cuadro por cuadro de analogías 4D-3D