operador de Fourier

Parte real (coseno)

Parte imaginaria (seno)

Un gráfico del operador de Fourier

El operador de Fourier es el núcleo de la integral de Fredholm de primera especie que define la transformada continua de Fourier , y es una función bidimensional cuando corresponde a la transformada de Fourier de funciones unidimensionales. Es de valor complejo y tiene una magnitud constante (típicamente unitaria) en todas partes. Cuando se representa, por ejemplo, con fines didácticos, puede visualizarse mediante sus partes real e imaginaria por separado, o como una imagen en color utilizando una rueda de colores para indicar la fase. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Generalmente se denota con una letra mayúscula "F" en fuente cursiva (${\displaystyle {\mathcal {F}}}$), por ejemplo, la transformada de Fourier de una función${\displaystyle g(t)}$se escribiría usando el operador como${\displaystyle {\mathcal {F}}g(t)}$. ^{[ 3 ]}

Puede considerarse un caso límite para cuando el tamaño de la transformada discreta de Fourier aumenta sin límite, al tiempo que su resolución espacial también aumenta sin límite, hasta volverse continua y no necesariamente periódica.

El operador de Fourier define una función bidimensional continua que se extiende a lo largo de los ejes de tiempo y frecuencia, hasta el infinito en las cuatro direcciones. Esto es análogo a la matriz DFT , pero en este caso es continua e infinita. El valor de la función en cualquier punto es tal que tiene la misma magnitud en todas partes. Para cualquier valor fijo de tiempo, el valor de la función varía como una exponencial compleja en función de la frecuencia. De igual manera, para cualquier valor fijo de frecuencia, el valor de la función varía como una exponencial compleja en función del tiempo. Una parte del operador de Fourier infinito se muestra en la ilustración siguiente.

Cualquier sección paralela a cualquiera de los ejes, a través del operador de Fourier, es una exponencial compleja, es decir, la parte real es una onda coseno y la parte imaginaria es una onda sinusoidal de la misma frecuencia que la parte real.

Las secciones diagonales del operador de Fourier dan lugar a chirps. Por lo tanto, la rotación del operador de Fourier da lugar a la transformada fraccional de Fourier , que está relacionada con la transformada chirplet . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

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