Impares

Las probabilidades pueden expresarse como una razón entre dos números, en cuyo caso no son únicas: al multiplicar ambos términos por el mismo factor, las proporciones no cambian: las probabilidades de 1:1 y las de 100:100 son iguales (probabilidades pares). Las probabilidades también pueden expresarse como un número, dividiendo los términos de la razón; en este caso, sí son únicas (diferentes fracciones pueden representar el mismo número racional ). Las probabilidades como razón, las probabilidades como número y la probabilidad (también un número) están relacionadas por fórmulas sencillas, y de manera similar, las probabilidades a favor y en contra, así como la probabilidad de éxito y la de fracaso, tienen relaciones sencillas. Las probabilidades varían de 0 a infinito, mientras que las probabilidades varían de 0 a 1, y por lo tanto, a menudo se representan como un porcentaje entre el 0 % y el 100 %: al invertir la razón, las probabilidades a favor se intercambian con las probabilidades en contra, y de manera similar, la probabilidad de éxito con la de fracaso.

Dado que las probabilidades (a favor) son la razón W:L (número de resultados que son victorias:número de resultados que son derrotas), las probabilidades a favor (como un número)${\displaystyle o_{f}}$y probabilidades en contra (como un número)${\displaystyle o_{a}}$se pueden calcular simplemente dividiendo, y son inversos multiplicativos :

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=W/L=1/o_{a}\\o_{a}&=L/W=1/o_{f}\\o_{f}\cdot o_{a}&=1\end{aligned}}}$

De forma análoga, dadas las probabilidades como una razón, la probabilidad de éxito p o de fracaso q se puede calcular dividiendo, y la probabilidad de éxito y la probabilidad de fracaso suman la unidad (uno), ya que son los únicos resultados posibles. En caso de un número finito de resultados igualmente probables, esto se puede interpretar como el número de resultados en los que ocurre el evento dividido por el número total de eventos:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=W/(W+L)=1-q\\q&=L/(W+L)=1-p\\p+q&=1\end{aligned}}}$

Dada una probabilidad p, la razón de probabilidades es${\displaystyle p:q}$(probabilidad de éxito a probabilidad de fracaso), y las probabilidades como números se pueden calcular dividiendo:

${\displaystyle {\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}}$

Por el contrario, dadas las probabilidades como un número${\displaystyle o_{f},}$Esto se puede representar como la razón${\displaystyle o_{f}:1,}$o viceversa${\displaystyle 1:(1/o_{f})=1:o_{a},}$a partir de la cual se puede calcular la probabilidad de éxito o fracaso:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=o_{f}/(o_{f}+1)=1/(o_{a}+1)\\q&=o_{a}/(o_{a}+1)=1/(o_{f}+1)\end{aligned}}}$

Así, si se expresa como una fracción con numerador 1, la probabilidad y las probabilidades difieren exactamente en 1 en el denominador: una probabilidad de 1 entre 100 (1/100 = 1%) es lo mismo que unas probabilidades de 1 entre 99 (1/99 = 0,0101... = 0,01 ), mientras que unas probabilidades de 1 entre 100 (1/100 = 0,01) son lo mismo que una probabilidad de 1 entre 101 (1/101 = 0,00990099... = 0,0099 ). Esta es una diferencia menor si la probabilidad es pequeña (cercana a cero, o "probabilidades muy bajas"), pero es una diferencia importante si la probabilidad es grande (cercana a uno).

Estos cálculos se realizaron con algunas probabilidades simples:

Estas transformaciones tienen ciertas propiedades geométricas especiales: las conversiones entre probabilidades a favor y en contra (respectivamente, probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso) y entre probabilidades y probabilidad son todas transformaciones de Möbius (transformaciones lineales fraccionarias). Por lo tanto, se especifican mediante tres puntos ( absolutamente 3-transitivos ). Intercambiar probabilidades a favor y en contra intercambia 0 e infinito, fijando 1, mientras que intercambiar probabilidad de éxito con probabilidad de fracaso intercambia 0 y 1, fijando 0.5; ambas son de orden 2, por lo tanto, transformaciones circulares . Convertir probabilidades a probabilidad fija 0, envía infinito a 1 y envía 1 a 0.5 (las probabilidades pares son 50% probables), y viceversa; esta es una transformación parabólica .

En teoría de la probabilidad y estadística, las razones de probabilidades y otras similares pueden resultar más naturales o convenientes que las probabilidades. En algunos casos, se utilizan los logaritmos de las razones de probabilidades, que son el logit de la probabilidad. En términos sencillos, las razones de probabilidades se multiplican o dividen frecuentemente, y el logaritmo convierte la multiplicación en suma y la división en resta. Esto es particularmente importante en el modelo logístico , donde los logaritmos de las razones de probabilidades de la variable objetivo son una combinación lineal de las variables observadas.

En otras ramas de la estadística se utilizan ratios similares; de vital importancia es el ratio de verosimilitud en la estadística de verosimilitud , que se utiliza en la estadística bayesiana como factor de Bayes .

Las probabilidades son particularmente útiles en problemas de toma de decisiones secuenciales , como por ejemplo en problemas de cómo detenerse (en línea) en un último evento específico que se resuelve mediante el algoritmo de probabilidades .

Las probabilidades son una razón de probabilidades; una razón de probabilidades es una razón de probabilidades, es decir, una razón de razones de probabilidades. Las razones de probabilidades se utilizan a menudo en el análisis de ensayos clínicos . Si bien tienen propiedades matemáticas útiles, pueden producir resultados contraintuitivos : un evento con una probabilidad del 80 % de ocurrir es cuatro veces más probable que ocurra que un evento con una probabilidad del 20 %, pero las probabilidades son 16 veces mayores para el evento menos probable (4-1 en contra , o 4) que para el más probable (1-4 en contra , 4-1 a favor , 4-1 en , o 0,25).

Ejemplo n.º 1

Hay 5 canicas rosas, 2 azules y 8 moradas. ¿Cuáles son las probabilidades de sacar una canica azul?

Respuesta: Las probabilidades a favor de una canica azul son 2:13. De forma equivalente, se puede decir que las probabilidades en contra son 13:2 . Hay 2 de 15 posibilidades a favor del azul y 13 de 15 en contra.

En la teoría de la probabilidad y la estadística , donde la variable p es la probabilidad a favor de un evento binario, y la probabilidad en contra del evento es por lo tanto 1- p , "las probabilidades" del evento son el cociente de las dos, o${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}}$. Ese valor puede considerarse como la probabilidad relativa de que el evento ocurra, expresada como una fracción (si es menor que 1) o un múltiplo (si es igual o mayor que uno) de la probabilidad de que el evento no ocurra.

Ejemplo n.° 2

En el primer ejemplo de arriba, decir que las probabilidades de que sea domingo son "de uno a seis" o, menos comúnmente, "un sexto" significa que la probabilidad de elegir un domingo al azar es un sexto de la probabilidad de no elegir un domingo. Si bien la probabilidad matemática de un evento tiene un valor en el rango de cero a uno, "las probabilidades" a favor de ese mismo evento se encuentran entre cero e infinito. Las probabilidades en contra del evento con probabilidad dada como p son${\displaystyle {\frac {1-p}{p}}}$. Las probabilidades en contra de que sea domingo son de 6:1 o 6/1  =  6. Es 6 veces más probable que un día cualquiera no sea domingo.

Las cuotas fraccionarias, preferidas por las casas de apuestas en el Reino Unido e Irlanda , y también comunes en las carreras de caballos , indican el total neto que se pagará al apostador, en caso de ganar, en relación con la apuesta. ^{[ 8 ]} Las cuotas de 4/1 ( 4 a 1 en contra ) implicarían que el apostador obtendría una ganancia de 400 £ con una apuesta de 100 £. Si las cuotas son de 1/4 ( 1 a 4 en contra , 4 a 1 a favor o 4 a 1 a favor ), el apostador ganará 25 £ con una apuesta de 100 £. En ambos casos, al ganar, el apostador siempre recupera la apuesta original; por lo tanto, si las cuotas son de 4/1, el apostador recibe un total de 500 £ (400 £ más las 100 £ originales). Las cuotas de 1/1 se conocen como par o dinero par .

El numerador y el denominador de las cuotas fraccionarias suelen ser números enteros , así que si el pago de la casa de apuestas fuera de 1,25 £ por cada 1 £ apostada, esto sería equivalente a 5 £ por cada 4 £ apostadas, y las cuotas se expresarían, por lo tanto, como 5/4. Sin embargo, no todas las cuotas fraccionarias se leen tradicionalmente utilizando el mínimo común denominador (es decir, simplificando la fracción cuando sea posible). Por ejemplo, consideremos la cuota 6/4; dado que existe un patrón de cuotas de 5/4, 7/4, 9/4, etc., que se comparan más fácilmente con 6/4 que con 3/2, y por lo tanto pueden mostrarse como tal.

Las cuotas fraccionarias también se conocen como cuotas británicas, cuotas del Reino Unido ^{[ 9 ]} o, en ese país, cuotas tradicionales . Normalmente se representan con una "/", pero también pueden representarse con un "-", por ejemplo, 4/1 o 4-1. Las cuotas con denominador 1 suelen presentarse en las listas solo como numerador.

Una variante de las cuotas fraccionarias se conoce como cuotas de Hong Kong . Las cuotas fraccionarias y las de Hong Kong son intercambiables. La única diferencia radica en que las cuotas del Reino Unido se presentan en notación fraccionaria (p. ej., 6/5), mientras que las de Hong Kong se presentan en notación decimal (p. ej., 1.2). Ambas muestran el retorno neto.

Las cuotas europeas también representan las ganancias potenciales (ganancias netas), pero además tienen en cuenta la apuesta (por ejemplo, 6/5 o 1,2 más 1 = 2,2). ^{[ 10 ]}

Preferidas en Europa continental , Australia , Nueva Zelanda , Canadá y Singapur , las cuotas decimales indican la proporción entre el monto del pago, incluyendo la apuesta original, y la apuesta misma. Por lo tanto, las cuotas decimales de un resultado son equivalentes al valor decimal de las cuotas fraccionarias más uno. ^{[ 11 ]} Así, las cuotas pares 1/1 se cotizan en cuotas decimales como 2.00. Las cuotas fraccionarias 4/1 mencionadas anteriormente se cotizan como 5.00, mientras que las cuotas 1/4 se cotizan como 1.25. Esto se considera ideal para las apuestas combinadas , ya que las cuotas a pagar son simplemente el producto de las cuotas de cada resultado apostado. Al observar las cuotas decimales en términos de apuestas, el menos favorito tiene el decimal más alto de los dos, mientras que el favorito tiene el más bajo de los dos. La ecuación para calcular las cuotas decimales es Pago = Apuesta inicial × Valor decimal ^{[ 12 ]} . Por ejemplo, si se apuestan 100 € a que el Liverpool vence al Manchester City con una cuota de 2,00, la ganancia, incluyendo la apuesta, sería de 200 € (100 € × 2,00). Las cuotas decimales son las preferidas por las casas de apuestas porque son las más fáciles de usar para operar, ya que reflejan el recíproco de la probabilidad de un resultado. ^{[ 13 ]} Por ejemplo, una cuota de 5,00 equivale a una probabilidad de 1 / 5,00, es decir, 0,20 o 20 %.

Las probabilidades decimales también se conocen como probabilidades europeas , probabilidades digitales o probabilidades continentales. ^{[ 9 ]}

Las cuotas Moneyline son las preferidas por las casas de apuestas estadounidenses. La cifra que se muestra puede ser positiva o negativa.

• Cuando las cuotas de la línea de dinero son positivas, la cifra indica las ganancias netas por una apuesta de $100 (esto se aplica a un resultado que se considera menos probable que ocurra). Por ejemplo, las ganancias netas de 4/1 se cotizarían como +400.
• Cuando las cuotas de la línea de dinero son negativas, la cifra indica cuánto dinero se debe apostar para obtener una ganancia neta de $100 (esto se aplica a un resultado que se considera más probable que improbable). Por ejemplo, una ganancia neta de 1/4 se indicaría como -400.

Las cuotas Moneyline se conocen comúnmente como cuotas americanas . Una apuesta Moneyline se refiere a las cuotas sobre el resultado directo de un partido, sin tener en cuenta el hándicap . En la mayoría de los casos, el favorito tendrá cuotas Moneyline negativas (menor ganancia para una apuesta más segura) y el no favorito tendrá cuotas Moneyline positivas (mayor ganancia para una apuesta arriesgada). Sin embargo, si los equipos están igualados, ambos pueden tener cuotas negativas al mismo tiempo (por ejemplo, -110 -110 o -105 -115), debido a la comisión de la casa.

Las cuotas mayoristas son las "cuotas reales" o la probabilidad del 100% de que ocurra un evento. Este libro con una cuota del 100% se muestra sin el margen de beneficio de la casa de apuestas , a menudo denominado " sobremargen " incorporado.

Un índice de "probabilidades mayoristas" es un índice de todos los precios en un mercado probabilístico que opera con una competitividad del 100% y se muestra sin tener en cuenta ningún margen de beneficio para los participantes del mercado.