Marco (álgebra lineal)

Supongamos que tenemos un espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre un campo${\displaystyle F}$y queremos expresar un elemento arbitrario${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$como una combinación lineal de los vectores${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\subset V}$, es decir, encontrar coeficientes${\displaystyle \{c_{k}\}\subset F}$de tal manera que

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _ {k}c_ {k}\mathbf {e} _ {k}.}$

Si el conjunto${\displaystyle \{\mathbf {e} _ {k}\}}$no abarca${\displaystyle V}$, entonces tales coeficientes no existen para cada uno de ellos${\displaystyle \mathbf {v} }$. Si${\displaystyle \{\mathbf {e} _ {k}\}}$abarca${\displaystyle V}$y también es linealmente independiente , este conjunto forma una base de${\displaystyle V}$y los coeficientes${\displaystyle c_{k}}$están determinados de forma única por${\displaystyle \mathbf {v} }$. Sin embargo, si${\displaystyle \{\mathbf {e} _ {k}\}}$abarca${\displaystyle V}$pero no es linealmente independiente, la cuestión de cómo determinar los coeficientes se vuelve menos evidente, en particular si${\displaystyle V}$es de dimensión infinita.

Dado que${\displaystyle \{\mathbf {e} _ {k}\}}$abarca${\displaystyle V}$y es linealmente dependiente, una estrategia consiste en eliminar vectores del conjunto hasta que se vuelva linealmente independiente y forme una base. Este plan presenta algunos problemas:

1. Eliminar vectores arbitrarios del conjunto puede provocar que este no pueda abarcar${\displaystyle V}$antes de que se vuelva linealmente independiente.
2. Aunque sea posible idear una forma específica de eliminar vectores del conjunto hasta que se convierta en una base, este enfoque puede resultar inviable en la práctica si el conjunto es grande o infinito.
3. En algunas aplicaciones, puede ser ventajoso utilizar más vectores de los necesarios para representar${\displaystyle \mathbf {v} }$Esto significa que queremos encontrar los coeficientes.${\displaystyle c_{k}}$sin eliminar elementos en${\displaystyle \{\mathbf {e} _ {k}\}}$. Los coeficientes${\displaystyle c_{k}}$ya no estará determinado de forma exclusiva por${\displaystyle \mathbf {v} }$Por lo tanto, el vector${\displaystyle \mathbf {v} }$puede representarse como una combinación lineal de${\displaystyle \{\mathbf {e} _ {k}\}}$en más de un sentido.

Dejar${\displaystyle V}$ser un espacio de producto interno y${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ser un conjunto de vectores en${\displaystyle V}$. El conjunto${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$es un marco de${\displaystyle V}$si satisface la llamada condición de marco . Es decir, si existen dos constantes${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$de tal manera que ^{[ 5 ]}

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

Un marco se denomina sobrecompleto (o redundante ) si no es una base de Riesz para el espacio vectorial. La redundancia del marco se mide mediante los límites inferior y superior del marco (o factores de redundancia ).${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, respectivamente. ^{[ 6 ]} Es decir, un marco de${\displaystyle K\geq N}$vectores normalizados${\displaystyle \|\mathbf {e} _ {k}\|=1}$en un${\displaystyle N}$espacio dimensional${\displaystyle V}$tiene límites de marco que satisfacen

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

Si el marco es una base de Riesz y, por lo tanto, es linealmente independiente , entonces${\displaystyle A\leq 1\leq B}$.

Los límites del marco no son únicos porque los números menores que${\displaystyle A}$y mayor que${\displaystyle B}$También son límites de marco válidos. El límite inferior óptimo es el supremo de todos los límites inferiores y el límite superior óptimo es el ínfimo de todos los límites superiores.

Si se cumple la condición del marco, entonces el operador lineal se define como ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle \}_{k\in \mathbb {N} },}$

cartografía${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$a la secuencia de coeficientes de marco${\displaystyle c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }$, se denomina operador de análisis . Usando esta definición, la condición de marco se puede reescribir como

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _ {k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _ {k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \derecha\|^{2}.}$

El adjunto del operador de análisis se llama operador de síntesis del marco y se define como ^{[ 8 ].}

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

La composición del operador de análisis y el operador de síntesis conduce al operador de marco definido como

${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _ {k}.}$

A partir de esta definición y linealidad en el primer argumento del producto interno, la condición del marco ahora produce:

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

Si existe el operador de análisis, también existe el operador de marco.${\displaystyle \mathbf {S} }$así como lo contrario${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$. Ambos${\displaystyle \mathbf {S} }$y${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$son operadores autoadjuntos definidos positivos y acotados , lo que resulta en${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$siendo los valores ínfimo y supremo del espectro de${\displaystyle \mathbf {S} }$. ^{[ 9 ]} En dimensiones finitas, el operador de marco es automáticamente de clase traza , con${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$correspondientes a los valores propios más pequeños y más grandes de${\displaystyle \mathbf {S} }$o, equivalentemente, los valores singulares más pequeños y más grandes de${\displaystyle \mathbf {T} }$. ^{[ 10 ]}

La condición de marco es una generalización de la identidad de Parseval que mantiene la equivalencia de norma entre una señal en${\displaystyle V}$y su secuencia de coeficientes en${\displaystyle \ell ^{2}}$.

Si el conjunto${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$es un marco de${\displaystyle V}$, abarca${\displaystyle V}$De lo contrario, existiría al menos un valor distinto de cero.${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$lo cual sería ortogonal a todo${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$de tal manera que

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};}$

ya sea violando la condición del marco o la suposición de que${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$.

Sin embargo, un conjunto que abarca${\displaystyle V}$no es necesariamente un marco. Por ejemplo, considere${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$con el producto escalar y el conjunto infinito${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$dado por

${\displaystyle \left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}$

Este conjunto abarca${\displaystyle V}$pero desde

${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,}$

no podemos elegir un límite superior finito del marco B. En consecuencia, el conjunto${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$no es un marco.

Suponer${\displaystyle V}$es un subespacio de un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$y dejar${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$y${\displaystyle \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ser un marco y un marco doble de${\displaystyle V}$, respectivamente. Si${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$no depende de${\displaystyle f\in H}$, el marco dual se calcula como

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

dónde${\displaystyle \mathbf {T} _{V}}$denota la restricción de${\displaystyle \mathbf {T} }$a${\displaystyle V}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}}$es invertible en${\displaystyle V}$. La mejor aproximación lineal de${\displaystyle f}$en${\displaystyle V}$entonces viene dada por la proyección ortogonal de${\displaystyle f\in H}$sobre${\displaystyle V}$, definido como

${\displaystyle P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

El operador de síntesis de marco dual se define como

${\displaystyle P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},}$

y la proyección ortogonal se calcula a partir de los coeficientes del marco.${\displaystyle \langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle }$En el análisis dual, la proyección ortogonal se calcula a partir de${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$como

${\displaystyle P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}}$

con operador de análisis de doble marco${\displaystyle \{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$. ^{[ 12 ]}

Del análisis armónico se sabe que el sistema trigonométrico complejo${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$formar una base ortonormal para${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$. Por lo tanto,${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$es un marco (ajustado) para${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$con límites${\displaystyle A=B=2\pi }$. ^{[ 14 ]}

El sistema permanece estable ante perturbaciones "suficientemente pequeñas".${\displaystyle \{\lambda _{k}-k\}}$y el marco${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$formará una base de Riesz para${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$. En consecuencia, cada función${\displaystyle f}$en${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$tendrá una representación única de la serie de Fourier no armónica

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},}$

con${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$y${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$Se denomina marco de Fourier (o marco de exponenciales ). Lo que constituye "suficientemente pequeño" se describe mediante el siguiente teorema, que lleva el nombre de Mikhail Kadets . ^{[ 15 ]}

El teorema se puede extender fácilmente a marcos, reemplazando los números enteros por otra secuencia de números reales.${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$de tal manera que ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle |\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},}$

entonces${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$es un marco para${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$con límites

${\displaystyle A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.}$

La redundancia de un marco es útil para mitigar el ruido añadido por los coeficientes del marco.${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$denota un vector calculado con coeficientes de trama ruidosos. El ruido se mitiga luego proyectando${\displaystyle \mathbf {a} }$sobre la imagen de${\displaystyle \mathbf {T} }$.

El${\displaystyle \ell ^{2}}$espacio de secuencias y${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$(como${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}}$) son espacios de Hilbert de núcleo reproductor con un núcleo dado por la matriz${\displaystyle M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle }$. ^{[ 9 ]} Por lo tanto, la ecuación anterior también se conoce como la ecuación del núcleo reproductor y expresa la redundancia de los coeficientes del marco. ^{[ 18 ]}

Un marco es un marco ajustado si${\displaystyle A=B}$Un marco ajustado${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$con marco${\displaystyle A}$tiene la propiedad de que

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

Por ejemplo, la unión de${\displaystyle k}$bases ortonormales disjuntas de un espacio vectorial es un marco ajustado sobrecompleto con${\displaystyle A=B=k}$. Un marco ajustado es un marco de Parseval si${\displaystyle A=B=1}$. ^{[ 19 ]} Cada base ortonormal es un marco de Parseval (completo), pero lo contrario no es necesariamente cierto. ^{[ 20 ]}

Un marco es un marco de norma igual si existe una constante${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=c}$para cada${\displaystyle k}$. Un marco de norma igual es un marco normalizado (a veces llamado marco de norma unitaria ) si${\displaystyle c=1}$. ^{[ 21 ]} Un marco de Parseval con norma unitaria es una base ortonormal; dicho marco satisface la identidad de Parseval .

Un marco es un marco equiangular si existe una constante${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle |\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c}$a pesar de${\displaystyle i\neq j}$. En particular, toda base ortonormal es equiangular. ^{[ 22 ]}

Un marco es un marco exacto si ningún subconjunto propio del marco abarca el espacio de producto interno. Cada base de un espacio de producto interno es un marco exacto para dicho espacio (por lo tanto, una base es un caso especial de marco).

En ocasiones, puede que no sea posible satisfacer simultáneamente ambos límites del marco. Un semimarco superior (o inferior) es un conjunto que solo satisface la desigualdad del marco superior (o inferior). ^{[ 9 ]} La secuencia de Bessel es un ejemplo de un conjunto de vectores que satisface únicamente la desigualdad del marco superior.

Para cualquier vector${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$para ser reconstruido a partir de los coeficientes${\displaystyle \{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }}$Basta con que exista una constante${\displaystyle A>0}$de tal manera que

${\displaystyle A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.}$

Al establecer${\displaystyle \mathbf {v} =x-y}$y aplicando la linealidad del operador de análisis, esta condición es equivalente a:

${\displaystyle A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,}$

que es precisamente la condición límite del marco inferior.

Un marco de fusión se entiende mejor como una extensión de los operadores de síntesis y análisis de marcos duales donde, en lugar de un único subespacio${\displaystyle V\subseteq H}$, un conjunto de subespacios cerrados${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H}$con pesos escalares positivos${\displaystyle \{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$se considera. Un marco de fusión es una familia${\displaystyle \{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$que satisface la condición del marco

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,}$

dónde${\displaystyle P_{W_{i}}}$denota la proyección ortogonal sobre el subespacio${\displaystyle W_{i}}$. ^{[ 23 ]}

Suponer${\displaystyle H}$es un espacio de Hilbert,${\displaystyle X}$un espacio localmente compacto y${\displaystyle \mu }$es una medida de Borel localmente finita en${\displaystyle X}$. Luego, un conjunto de vectores en${\displaystyle H}$,${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$con una medida${\displaystyle \mu }$Se dice que es un marco continuo si existen constantes,${\displaystyle 0<A\leq B}$de tal manera que

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

Para comprobar que los marcos continuos son, en efecto, la generalización natural de los marcos mencionados anteriormente, consideremos un conjunto discreto.${\displaystyle \Lambda \subset X}$y una medida${\displaystyle \mu =\delta _{\Lambda }}$dónde${\displaystyle \delta _{\Lambda }}$es la medida de Dirac . Entonces la condición de marco continuo se reduce a

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

Al igual que en el caso discreto, podemos definir los operadores de análisis, síntesis y marco cuando trabajamos con marcos continuos.

Así como un marco es una generalización natural de una base a conjuntos que pueden ser linealmente dependientes, una medida con valores de operador positivo (POVM) es una generalización natural de una medida con valores de proyección (PVM) en el sentido de que los elementos de una POVM no son necesariamente proyecciones ortogonales .

Suponer${\displaystyle (X,M)}$es un espacio medible con${\displaystyle M}$un σ-álgebra de Borel en${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle F}$ser un POVM de${\displaystyle M}$al espacio de operadores positivos en${\displaystyle H}$con la propiedad adicional que

${\displaystyle 0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,}$

dónde${\displaystyle I}$es el operador identidad . Entonces${\displaystyle F}$se denomina POVM enmarcado . ^{[ 23 ]}

En el caso de la condición de marco de fusión, esto permite la sustitución.

${\displaystyle F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.}$

Para el operador de marco continuo, el POVM enmarcado sería ^{[ 24 ].}

${\displaystyle \langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).}$