Paquete de marcos

{\displaystyle {\mathcal {F_{O}}}(E)} — El haz de marcos ortonormales ${\mathcal {F_{O}}}(E)$ de la cinta de Möbius $E$ es un principio no trivial $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -paquete sobre el círculo.

En matemáticas , un fibrado de marcos es un fibrado de fibras principales. $F(E)$ asociado a cualquier haz vectorial $E$ . La fibra de $F(E)$ sobre un punto $x$ es el conjunto de todas las bases ordenadas , o marcos , para $E_{x}$ El grupo lineal general actúa naturalmente sobre $F(E)$ mediante un cambio de base , dando al paquete de marcos la estructura de un principal $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ -fibrado (donde k es el rango de $E$ ).

El fibrado de marcos de una variedad diferenciable es aquel asociado a su fibrado tangente . Por esta razón, a veces se le llama fibrado de marcos tangentes .

Definición y construcción

Dejar $E\to X$ ser un paquete vectorial real de rango $k$ sobre un espacio topológico $X$ Un marco en un punto $x\in X$ es una base ordenada para el espacio vectorial $E_{x}$ De forma equivalente, un marco puede considerarse como un isomorfismo lineal.

p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

El conjunto de todos los fotogramas en $x$ , denotado $F_{x}$ , tiene una acción natural correcta por el grupo lineal general $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ de invertible $k\times k$ matrices: un elemento de grupo $g\in \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ actúa sobre el marco $p$ mediante composición para dar un nuevo marco

p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.

Esta acción de $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ en $F_{x}$ es libre y transitiva (esto se deduce del resultado estándar del álgebra lineal de que existe una única transformación lineal invertible que envía una base a otra). Como espacio topológico, $F_{x}$ es homeomorfo a $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ aunque carece de una estructura de grupo, ya que no hay un "marco preferido". El espacio $F_{x}$ Se dice que es un $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ - torsor .

El paquete de marcos de $E$ , denotado por $F(E)$ o $F_{\mathrm {GL} }(E)$ , es la unión disjunta de todos los $F_{x}$ :

\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.

Cada punto en $F(E)$ es un par $(x,p)$ , dónde $x$ es un punto en $X$ y $p$ es un marco en $x$ Existe una proyección natural. $\pi :F(E)\to X$ que envía $(x,p)$ a $x$ El grupo $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ actúa en $F(E)$ a la derecha como arriba. Esta acción es claramente libre y las órbitas son solo las fibras de $\pi$ .

Estructura del paquete principal

El paquete de marcos $F(E)$ se le puede dar una topología natural y una estructura de haces determinada por la de $E$ . Dejar ${\ Displaystyle (U_ {i}, \ phi _ {i})}$ ser una trivialización local de $E$ . Luego, para cada uno $x\in U_{i}$ uno tiene un isomorfismo lineal $\phi _{i,x}:E_{x}\to \mathbb {R} ^{k}$ Estos datos determinan una biyección.

\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )

dado por

\psi _{i}(x,p)=(x,\phi _{i,x}\circ p).

Con estas biyecciones, cada $\pi ^{-1}(U_{i})$ Se le puede dar la topología de $U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ . La topología en $F(E)$ es la topología final co-inducida por los mapas de inclusión $\pi ^{-1}(U_{i})\to F(E)$ .

Con todos los datos anteriores, el paquete de marcos $F(E)$ se convierte en un haz de fibras principal sobre $X$ con grupo de estructura $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ y trivializaciones locales $(\{U_{i}\},\{\psi _{i}\})$ . Se puede comprobar que las funciones de transición de $F(E)$ son los mismos que los de $E$ .

Todo lo anterior funciona también en la categoría suave: si $E$ es un fibrado vectorial suave sobre una variedad suave $M$ luego el paquete de marcos de $E$ se le puede dar la estructura de un fibrado principal suave sobre $M$ .

Paquetes de vectores asociados

Un haz vectorial $E$ y su paquete de marcos $F(E)$ son paquetes asociados . Cada uno determina al otro. El paquete de marcos $F(E)$ se puede construir a partir de $E$ como se indicó anteriormente, o de forma más abstracta utilizando el teorema de construcción de fibrados . Con este último método, $F(E)$ es el fibrado con la misma base, grupo de estructura, vecindarios trivializantes y funciones de transición que $E$ pero con fibra abstracta $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ donde la acción del grupo de estructura $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ en la fibra $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ es la de la multiplicación por la izquierda.

Dada cualquier representación lineal ${\displaystyle \rho$ existe un fibrado vectorial

\mathrm {F} (E)\times _{\rho }V

asociado con $F(E)$ que viene dado por el producto $F(E)\times V$ módulo la relación de equivalencia $(pg,v)\sim (p,\rho (g)v)$ a pesar de $g$ en $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ . Denotemos las clases de equivalencia por $[p,v]$ .

El haz vectorial $E$ es naturalmente isomorfo al haz $F(E)\times _{\rho }\mathbb {R} ^{k}$ dónde $\rho$ es la representación definitoria de $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )$ en $\mathbb {R} ^{k}$ El isomorfismo viene dado por

[p,v]\mapsto p(v)

dónde $v$ es un vector en $\mathbb {R} ^{k}$ y $p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}$ es un marco en $x$ Se puede comprobar fácilmente que este mapa está bien definido .

Cualquier haz vectorial asociado con $E$ puede ser dado por la construcción anterior. Por ejemplo, el fibrado dual de $E$ es dado por $F(E)\times _{\rho ^{*}}(\mathbb {R} ^{k})^{*}$ dónde $\rho ^{*}$ es el dual de la representación fundamental. Fibrados tensoriales de $E$ se puede construir de manera similar.

Paquete de marcos tangentes

El fibrado de marcos tangentes (o simplemente el fibrado de marcos ) de una variedad lisa $M$ es el fibrado de marcos asociado con el fibrado tangente de $M$ . El paquete de marcos de $M$ a menudo se denota $FM$ o $\mathrm {GL} (M)$ en vez de $F(TM)$ En física, a veces se denota $LM$ . Si $M$ es $n$ -dimensional entonces el fibrado tangente tiene rango $n$ , por lo que el paquete de marcos de $M$ es un director $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ paquete sobre $M$ .

Marcos suaves

Secciones locales del haz de marcos de $M$ se llaman marcos suaves en $M$ . El teorema de la sección transversal para fibrados principales establece que el fibrado de marcos es trivial sobre cualquier conjunto abierto en $U$ en $M$ que admite un marco liso. Dado un marco liso $s:U\to FU$ , la trivialización $\psi :FU\to U\times \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ es dado por

\psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)

dónde $p$ es un marco en $x$ . De ello se deduce que una variedad es paralelizable si y solo si el fibrado de marcos de $M$ admite una sección global.

Dado que el fibrado tangente de $M$ es trivializable sobre vecindarios de coordenadas de $M$ Así es el paquete de marcos. De hecho, dado cualquier vecindario de coordenadas $U$ con coordenadas $(x^{1},\ldots ,x^{n})$ los campos vectoriales de coordenadas

\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)

definir un marco suave en $U$ Una de las ventajas de trabajar con haces de marcos es que permiten trabajar con marcos distintos a los de coordenadas; se puede elegir un marco adaptado al problema en cuestión. Esto a veces se denomina método de marcos móviles .

Forma de soldadura

El haz de marcos de un colector $M$ es un tipo especial de fibrado principal en el sentido de que su geometría está fundamentalmente ligada a la geometría de $M$ Esta relación puede expresarse mediante una 1-forma vectorial en $FM$ llamada forma de soldadura (también conocida como la 1-forma fundamental o tautológica ). $x$ ser un punto del colector $M$ y $p$ un marco en $x$ , de modo que

p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M

es un isomorfismo lineal de $\mathbb {R} ^{n}$ con el espacio tangente de $M$ en $x$ . La forma de soldadura de $FM$ es el $\mathbb {R} ^{n}$ -forma 1-valorada $\theta$ definido por

\theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )

donde ξ es un vector tangente a $FM$ en ese punto $(x,p)$ , y $p^{-1}:T_{x}M\to \mathbb {R} ^{n}$ es el inverso del mapa de marcos, y $d\pi$ es el diferencial del mapa de proyección $\pi :FM\to M$ . La forma de soldadura es horizontal en el sentido de que se desvanece en vectores tangentes a las fibras de $\pi$ y equivariante derecha en el sentido de que

R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta

dónde $R_{g}$ es traducción correcta por $g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ Una forma con estas propiedades se denomina forma básica o tensorial en $FM$ . Dichas formas están en correspondencia uno a uno con $TM$ -formas 1-valoradas en $M$ que, a su vez, están en correspondencia biunívoca con mapas de haces suaves $TM\to TM$ encima $M$ Visto desde esta perspectiva $\theta$ es solo el mapa de identidad en $TM$ .

Como convención de nomenclatura, el término «forma única tautológica» suele reservarse para los casos en que la forma tiene una definición canónica, como ocurre aquí, mientras que «forma de soldadura» es más apropiado para aquellos casos en que la forma no está definida canónicamente. Esta convención no se está respetando en este caso.

paquete de marcos ortonormales

Si un haz vectorial $E$ está equipado con una métrica de haz riemanniano entonces cada fibra $E_{x}$ no es solo un espacio vectorial sino un espacio con producto interno . Entonces es posible hablar del conjunto de todos los marcos ortonormales para $E_{x}$ . Un marco ortonormal para $E_{x}$ es una base ortonormal ordenada para $E_{x}$ o, equivalentemente, una isometría lineal

p:\mathbb {R} ^{k}\to E_{x}

dónde $\mathbb {R} ^{k}$ está equipado con la métrica euclidiana estándar . El grupo ortogonal $\mathrm {O} (k)$ actúa libre y transitivamente sobre el conjunto de todos los marcos ortonormales mediante composición derecha. En otras palabras, el conjunto de todos los marcos ortonormales es un conjunto derecho. $\mathrm {O} (k)$ - torsor .

El haz de marcos ortonormales de $E$ , denotado $F_{\mathrm {O} }(E)$ es el conjunto de todos los marcos ortonormales en cada punto $x$ en el espacio base $X$ . Se puede construir mediante un método completamente análogo al del fibrado de marcos ordinario. El fibrado de marcos ortonormal de rango $k$ fibrado vectorial riemanniano $E\to X$ es un director $\mathrm {O} (k)$ -paquete terminado $X$ . Una vez más, la construcción funciona igual de bien en la categoría de superficies lisas.

Si el haz vectorial $E$ es orientable entonces se puede definir el fibrado de marcos ortonormales orientados de $E$ , denotado $F_{\mathrm {SO} }(E)$ , como el principal $\mathrm {SO} (k)$ -conjunto de todos los marcos ortonormales orientados positivamente.

Si $M$ es un $n$ Variedad riemanniana de dimensión , entonces el fibrado de marcos ortonormales de $M$ , denotado $F_{\mathrm {O} }(M)$ o $\mathrm {O} (M)$ , es el fibrado de marco ortonormal asociado con el fibrado tangente de $M$ (que está equipada con una métrica riemanniana por definición). Si $M$ Si es orientable, entonces también se tiene el haz de marcos ortonormales orientados. $F_{\mathrm {SO} }(M)$ .

Dado un fibrado vectorial riemanniano $E$ , el fibrado de marcos ortonormales es un principal $\mathrm {O} (k)$ - subfibrado del fibrado de marcos lineales general. En otras palabras, el mapa de inclusión.

i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)

es el mapa de paquetes principal . Uno dice que $F_{\mathrm {O} }(E)$ es una reducción del grupo estructural de $F_{\mathrm {GL} }(E)$ de $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ a $\mathrm {O} (k)$ .

Estructuras G

Si un colector liso $M$ viene con estructura adicional, a menudo es natural considerar un subpaquete del paquete de marco completo de $M$ que se adapta a la estructura dada. Por ejemplo, si $M$ es una variedad riemanniana vimos anteriormente que es natural considerar el fibrado de marco ortonormal de $M$ . El fibrado de marcos ortonormales es simplemente una reducción del grupo de estructuras de $F_{\mathrm {GL} }(M)$ al grupo ortogonal $\mathrm {O} (n)$ .

En general, si $M$ es suave $n$ -múltiple y $G$ es un subgrupo de Lie de $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ definimos una G -estructura en $M$ ser una reducción del grupo estructural de $F_{\mathrm {GL} }(M)$ a $G$ Explícitamente, este es un principio $G$ -manojo $F_{G}(M)$ encima $M$ junto con un $G$ -mapa de haces equivariantes

{\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)

encima $M$ .

En este lenguaje, una métrica riemanniana en $M$ da lugar a un $\mathrm {O} (n)$ -estructura en $M$ A continuación se presentan otros ejemplos.

Cada colector orientado tiene un haz de marcos orientado que es simplemente un $\mathrm {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )$ -estructura en $M$ .
Un formulario de volumen en $M$ determina un $\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )$ -estructura en $M$ .
A $2n$ La variedad simpléctica de dimensión -tiene una natural $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ -estructura.
A $2n$ Una variedad compleja o casi compleja de dimensión -dimensional tiene una naturaleza $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ -estructura.

En muchos de estos casos, un $G$ -estructura en $M$ determina de forma única la estructura correspondiente en $M$ . Por ejemplo, un $\mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )$ -estructura en $M$ determina una forma de volumen en $M$ Sin embargo, en algunos casos, como para las variedades simplécticas y complejas, se necesita una condición de integrabilidad adicional. $\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )$ -estructura en $M$ determina de forma única una 2-forma no degenerada en $M$ pero para $M$ Para ser simpléctica, esta 2-forma también debe ser cerrada .

Referencias

Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado del original (PDF) el 30-03-2017 , consultado el 02-08-2008.
Sternberg, S. (1983), Lecciones de geometría diferencial (2.ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4