Conjetura de Frankel

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y la geometría algebraica , la conjetura de Frankel fue un problema planteado por Theodore Frankel en 1961. Fue resuelta en 1979 por Shigefumi Mori , y por Yum-Tong Siu y Shing-Tung Yau .

En su formulación diferencial-geométrica, como demostraron Mori y Siu y Yau, el resultado establece que si una variedad de Kähler cerrada tiene curvatura biseccional positiva, entonces debe ser biholomorfa al espacio proyectivo complejo . De esta manera, puede considerarse un análogo del teorema de la esfera en geometría riemanniana , que (en una forma débil) establece que si una variedad riemanniana cerrada y simplemente conexa tiene un operador de curvatura positivo, entonces debe ser difeomorfa a una esfera . Esta formulación fue extendida por Ngaiming Mok a la siguiente afirmación:

Sea ( M , g ) una variedad de Kähler cerrada de curvatura biseccional holomorfa no negativa. Entonces, el recubrimiento universal de M , con su métrica natural, es biholomórficamente isométrico al producto métrico del espacio euclidiano complejo, con algún número de espacios simétricos hermíticos cerrados irreducibles con rango mayor que uno, con el producto de algún número de espacios proyectivos complejos, cada uno de los cuales tiene una métrica de Kähler de curvatura biseccional holomorfa no negativa.

En su formulación algebraico-geométrica, demostrada por Mori pero no por Siu y Yau, el resultado establece que si M es una variedad proyectiva irreducible y no singular , definida sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado , que posee fibrado tangente amplio , entonces M debe ser isomorfa al espacio proyectivo definido sobre k . Esta versión se conoce como la conjetura de Hartshorne , en honor a Robin Hartshorne .

• Theodore Frankel. Variedades con curvatura positiva. Pacific J. Math. 11 (1961), 165–174. doi : 10.2140/pjm.1961.11.165
• Robin Hartshorne. Subvariedades amplias de variedades algebraicas. Notas escritas en colaboración con C. Musili. Lecture Notes in Mathematics, vol. 156 (1970). Springer-Verlag, Berlín-Nueva York. xiv+256 pp. doi : 10.1007/BFb0067839
• Shoshichi Kobayashi y Takushiro Ochiai. Caracterizaciones de espacios proyectivos complejos e hipercuádricas. J. Math. Kyoto Univ. 13 (1973), 31–47. doi : 10.1215/kjm/1250523432
• Ngaiming Mok. El teorema de uniformización para variedades de Kähler compactas de curvatura biseccional holomorfa no negativa. J. Differential Geom. 27 (1988), n.º 2, 179–214. doi : 10.4310/jdg/1214441778
• Shigefumi Mori. Variedades proyectivas con haces tangentes amplios. Ann. of Math. (2) 110 (1979), n.º 3, 593–606. doi : 10.2307/1971241
• Yum Tong Siu y Shing Tung Yau. Variedades de Kähler compactas de curvatura biseccional positiva. Invent. Math. 59 (1980), n.º 2, 189–204. doi : 10.1007/BF01390043