Teorema de Fredholm

En matemáticas , los teoremas de Fredholm son un conjunto de resultados célebres de Ivar Fredholm en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Existen varios teoremas estrechamente relacionados, que pueden enunciarse en términos de ecuaciones integrales, álgebra lineal o el operador de Fredholm en espacios de Banach .

La alternativa de Fredholm es uno de los teoremas de Fredholm.

El teorema de Fredholm en álgebra lineal es el siguiente: si M es una matriz , entonces el complemento ortogonal del espacio fila de M es el espacio nulo de M :

${\displaystyle (\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.}$

De manera similar, el complemento ortogonal del espacio columna de M es el espacio nulo del adjunto:

${\displaystyle (\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.}$

El teorema de Fredholm para ecuaciones integrales se expresa de la siguiente manera. Sea${\displaystyle K(x,y)}$Sea un núcleo integral y consideremos las ecuaciones homogéneas.

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)}$

y su adjunto complejo

${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).}$

Aquí,${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$denota el conjugado complejo del número complejo${\displaystyle \lambda }$y de manera similar para${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$. Entonces, el teorema de Fredholm establece que, para cualquier valor fijo de${\displaystyle \lambda }$Estas ecuaciones tienen la solución trivial.${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$o tener el mismo número de soluciones linealmente independientes${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$,${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$.

Una condición suficiente para que este teorema sea válido es que${\displaystyle K(x,y)}$ser integrable al cuadrado en el rectángulo${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$(donde a y/o b pueden ser infinito negativo o positivo).

Aquí, la integral se expresa como una integral unidimensional en la recta real. En la teoría de Fredholm , este resultado se generaliza a operadores integrales en espacios multidimensionales, incluyendo, por ejemplo, variedades riemannianas .

Uno de los teoremas de Fredholm, estrechamente relacionado con la alternativa de Fredholm , se refiere a la existencia de soluciones para la ecuación de Fredholm no homogénea.

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _ {a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).}$

Existen soluciones para esta ecuación si y solo si la función${\displaystyle f(x)}$es ortogonal al conjunto completo de soluciones${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}$de la ecuación adjunta homogénea correspondiente:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0}$

dónde${\displaystyle {\overline {\psi _ {n}(x)}}}$es el conjugado complejo de${\displaystyle \psi _{n}(x)}$y la primera es una de las soluciones completas para

${\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

Una condición suficiente para que este teorema sea válido es que${\displaystyle K(x,y)}$ser integrable al cuadrado en el rectángulo${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$.

• EI Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) págs.  365–390.
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Fredholm" . MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994], "Teoremas de Fredholm" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press