Densidad de polarización

En el electromagnetismo clásico , la densidad de polarización (o polarización eléctrica , o simplemente polarización ) es el campo vectorial que expresa la densidad volumétrica de momentos dipolares eléctricos permanentes o inducidos en un material dieléctrico . Cuando un dieléctrico se coloca en un campo eléctrico externo , sus átomos o moléculas adquieren un momento dipolar eléctrico y se dice que el dieléctrico está polarizado.

La polarización eléctrica de una muestra de material dieléctrico dada se define como el cociente entre el momento dipolar eléctrico (una magnitud vectorial, expresada en culombios -metros (C ⋅ m) en unidades del SI ) y el volumen (en metros cúbicos). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} La densidad de polarización se denota matemáticamente por $P$ ; ^{[ 2 ]} en unidades del SI, se expresa en culombios por metro cuadrado (C/m ² ).

La densidad de polarización también describe cómo responde un material a un campo eléctrico aplicado, así como la forma en que el material modifica dicho campo, y puede utilizarse para calcular las fuerzas resultantes de esas interacciones. Se puede comparar con la magnetización , que es la medida de la respuesta correspondiente de un material a un campo magnético en magnetismo .

Al igual que los ferromagnetos , que tienen una magnetización permanente distinta de cero incluso si no se aplica ningún campo magnético externo, los materiales ferroeléctricos tienen una polarización distinta de cero en ausencia de un campo eléctrico externo.

Definición

Un campo eléctrico externo que se aplica a un material dieléctrico provoca el desplazamiento de los elementos cargados ligados.

Una carga ligada es una carga asociada a un átomo o molécula dentro de un material. Se denomina "ligada" porque no puede moverse libremente dentro del material como las cargas libres . Los elementos con carga positiva se desplazan en la dirección del campo, y los elementos con carga negativa se desplazan en dirección opuesta. Las moléculas pueden permanecer neutras en carga, pero se forma un momento dipolar eléctrico. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Para un determinado elemento de volumen $\Delta V$ en el material, que posee un momento dipolar $\Delta \mathbf {p}$ , definimos la densidad de polarización $P$ : $\mathbf {P} ={\frac {\Delta \mathbf {p} }{\Delta V}}$

En general, el momento dipolar $\Delta \mathbf {p}$ cambia de un punto a otro dentro del dieléctrico. Por lo tanto, la densidad de polarización $P$ de un dieléctrico dentro de un volumen infinitesimal $d V$ con un momento dipolar infinitesimal $d p$ es:

La carga neta que aparece como resultado de la polarización se llama carga ligada y se denota $Q_{\text{b}}$ .

Esta definición de densidad de polarización como un "momento dipolar por unidad de volumen" es ampliamente adoptada, aunque en algunos casos puede generar ambigüedades y paradojas. ^{[ 5 ]}

Otras expresiones

Consideremos un volumen $dV$ aislado dentro del dieléctrico. Debido a la polarización, la carga ligada $positiva$ $\mathrm {d} q_{\text{b}}^{+}$ se desplazará una distancia $d$ con respecto a la carga ligada negativa. $\mathrm {d} q_{\text{b}}^{-}$ dando lugar a un momento dipolar $\mathrm {d} \mathbf {p} =\mathrm {d} q_{\text{b}}\mathbf {d}$ La sustitución de esta expresión en (1) produce $\mathbf {P} ={\mathrm {d} q_{\text{b}} \over \mathrm {d} V}\mathbf {d}$

Dado que el cargo $\mathrm {d} q_{\text{b}}$ limitado en el volumen $d V$ es igual a $\rho _{\text{b}}\mathrm {d} V$ La ecuación para $P$ se convierte en: ^{[ 3 ]}

dónde $\rho _{\text{b}}$ es la densidad de la carga ligada en el volumen considerado. De la definición anterior se desprende claramente que los dipolos son neutros en general y, por lo tanto, $\rho _{\text{b}}$ Se equilibra mediante una densidad igual de cargas opuestas dentro del volumen. Las cargas que no se equilibran forman parte de la carga libre que se describe a continuación.

Ley de Gauss para el campo de P

Para un volumen $V$ dado encerrado por una superficie $S$ , la carga ligada $Q_{\text{b}}$ dentro de ella es igual al flujo de $P$ a través de $S$ tomado con el signo negativo, o

Prueba

Consideremos una superficie $S$ que envuelve parte de un dieléctrico. Al polarizarse, las cargas ligadas negativas y positivas se desplazarán. Sean $d 1$ y $d 2$ las distancias de las cargas ligadas. $\mathrm {d} q_{\text{b}}^{-}$ y $\mathrm {d} q_{\text{b}}^{+}$ , respectivamente, del plano formado por el elemento de área $d A$ después de la polarización. Y sean $d V 1$ y $d V 2$ los volúmenes encerrados debajo y encima del área $d A$ .

De ello se deduce que la carga ligada negativa $\mathrm {d} q_{\text{b}}^{-}=\rho _{\text{b}}^{-}\ \mathrm {d} V_{1}=\rho _{\text{b}}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A$ Se movió desde la parte exterior de la superficie $d A$ hacia adentro, mientras que la carga ligada positiva $\mathrm {d} q_{\text{b}}^{+}=\rho _{\text{b}}\ \mathrm {d} V_{2}=\rho _{\text{b}}d_{2}\ \mathrm {d} A$ se desplazaba desde la parte interior de la superficie hacia afuera.

Por la ley de conservación de la carga, la carga ligada total $\mathrm {d} Q_{\text{b}}$ dejado dentro del volumen $\mathrm {d} V$ después de la polarización es:

${\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{\text{b}}&=\mathrm {d} q_{\text{in}}-\mathrm {d} q_{\text{out}}\\&=\mathrm {d} q_{\text{b}}^{-}-\mathrm {d} q_{\text{b}}^{+}\\&=\rho _{\text{b}}^{-}d_{1}\ \mathrm {d} A-\rho _{\text{b}}d_{2}\ \mathrm {d} A\end{aligned}}$

Desde $\rho _{\text{b}}^{-}=-\rho _{\text{b}}$ y (ver imagen a la derecha) ${\begin{aligned}d_{1}&=(d-a)\cos(\theta )\\d_{2}&=a\cos(\theta )\end{aligned}}$

La ecuación anterior se convierte en ${\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{\text{b}}&=-\rho _{\text{b}}(d-a)\cos(\theta )\ \mathrm {d} A-\rho _{\text{b}}a\cos(\theta )\ \mathrm {d} A\\&=-\rho _{\text{b}}d\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\end{aligned}}$

De ( 2 ) se deduce que $\rho _{\text{b}}d=P$ , entonces obtenemos: ${\begin{aligned}\mathrm {d} Q_{\text{b}}&=-P\ \mathrm {d} A\cos(\theta )\\-\mathrm {d} Q_{\text{b}}&=\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \end{aligned}}$

Y al integrar esta ecuación sobre toda la superficie cerrada $S$ encontramos que

-Q_{\text{b}}=

$\oiint$

\scriptstyle {S}

\mathbf {P} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

con lo cual se completa la demostración.

Forma diferencial

Según el teorema de la divergencia, la ley de Gauss para el campo $P$ se puede expresar en forma diferencial como: $-\rho _{\text{b}}=\nabla \cdot \mathbf {P} ,$ donde $\nabla \cdot P$ es la divergencia del campo $P$ a través de una superficie dada que contiene la densidad de carga ligada. $\rho _{\text{b}}$ .

Prueba

Por el teorema de la divergencia tenemos que $-Q_{\text{b}}=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,$ para el volumen $V$ que contiene la carga ligada $Q_{\text{b}}$ . Y desde entonces $Q_{\text{b}}$ es la integral de la densidad de carga ligada $\rho _{\text{b}}$ Tomando sobre todo el volumen $V$ encerrado por $S$ , la ecuación anterior produce $-\iiint _{V}\rho _{\text{b}}\ \mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {P} \ \mathrm {d} V,$ lo cual es cierto si y solo si $-\rho _{\text{b}}=\nabla \cdot \mathbf {P}$

Relación entre los campos de P y E

Dieléctricos homogéneos e isotrópicos

En un medio dieléctrico homogéneo , lineal, no dispersivo e isotrópico , la polarización está alineada con el campo eléctrico $E$ y es proporcional a él : ^[⁷^] $\mathbf {P} =\chi \varepsilon _{0}\mathbf {E} ,$

donde $ε₀$ es la constante dieléctrica y $χ$ es la susceptibilidad eléctrica del medio. Cabe destacar que, en este caso, $χ$ $se$ simplifica a un escalar, aunque, en general, es un tensor . Este es un caso particular debido a la isotropía del dieléctrico.

Teniendo en cuenta esta relación entre $P$ y $E$ , la ecuación ( 3 ) se convierte en: ^{[ 3 ]}

-Q_{\text{b}}=\chi \varepsilon _{0}\

$\oiint$

\scriptstyle {S}

\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}

La expresión en la integral es la ley de Gauss para el campo $E$ que produce la carga total, tanto libre como libre. $(Q_{\text{f}})$ y atado $(Q_{\text{b}})$ , en el volumen $V$ encerrado por $S$ . ^{[ 3 ]} Por lo tanto,

${\begin{aligned}-Q_{\text{b}}&=\chi Q_{\text{total}}\\&=\chi \left(Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}\right)\\[3pt]\Rightarrow Q_{\text{b}}&=-{\frac {\chi }{1+\chi }}Q_{\text{f}},\end{aligned}}$

que se puede escribir en términos de densidades de carga libre y carga ligada (considerando la relación entre las cargas, sus densidades de carga volumétrica y el volumen dado): $\rho _{\text{b}}=-{\frac {\chi }{1+\chi }}\rho _{\text{f}}$

Dado que dentro de un dieléctrico homogéneo no puede haber cargas libres $(\rho _{\text{f}}=0)$ De la última ecuación se deduce que no hay carga ligada volumétrica en el material. $(\rho _{\text{b}}=0)$ . Y dado que las cargas libres pueden acercarse tanto al dieléctrico como a su superficie más superior, se deduce que la polarización solo da lugar a una densidad de carga ligada a la superficie (denotada $\sigma _{\text{b}}$ para evitar ambigüedad con la densidad de carga ligada al volumen $\rho _{\text{b}}$ ). ^{[ 3 ]}

$\sigma _{\text{b}}$ puede estar relacionado con $P$ mediante la siguiente ecuación: ^{[ 8 ]} $\sigma _{\text{b}}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P}$ dónde $\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}$ es el vector normal a la superficie $S$ que apunta hacia afuera. (Ver densidad de carga para la demostración rigurosa)

Dieléctricos anisotrópicos

La clase de materiales dieléctricos en los que la densidad de polarización y el campo eléctrico no tienen la misma dirección se conocen como materiales anisotrópicos .

En dichos materiales, el componente $i$ de la polarización está relacionado con el componente $j$ del campo eléctrico según: ^{[ 7 ]}

$P_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{0}\chi _{ij}E_{j},$

Esta relación muestra, por ejemplo, que un material puede polarizarse en la dirección $x$ al aplicar un campo en la dirección $z$ , y así sucesivamente. El caso de un medio dieléctrico anisotrópico se describe mediante el campo de la óptica cristalina .

Como en la mayoría de los casos de electromagnetismo, esta relación trata sobre promedios macroscópicos de los campos y la densidad dipolar, de modo que se obtiene una aproximación continua de los materiales dieléctricos que ignora los comportamientos a escala atómica. La polarizabilidad de las partículas individuales en el medio puede relacionarse con la susceptibilidad promedio y la densidad de polarización mediante la relación de Clausius-Mossotti .

En general, la susceptibilidad es función de la frecuencia $ω$ del campo aplicado. Cuando el campo es una función arbitraria del tiempo $t$ , la polarización es una convolución de la transformada de Fourier de $χ (ω)$ con $E (t)$ . Esto refleja el hecho de que los dipolos en el material no pueden responder instantáneamente al campo aplicado, y las consideraciones de causalidad conducen a las relaciones de Kramers-Kronig .

Si la polarización $P$ no es linealmente proporcional al campo eléctrico $E$ , el medio se denomina no lineal y se describe mediante el campo de la óptica no lineal . Con una buena aproximación (para campos suficientemente débiles, suponiendo que no hay momentos dipolares permanentes), $P$ suele venir dada por una serie de Taylor en $E$ cuyos coeficientes son las susceptibilidades no lineales:

${\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots$

dónde $\chi ^{(1)}$ es la susceptibilidad lineal, $\chi ^{(2)}$ es la susceptibilidad de segundo orden (que describe fenómenos como el efecto Pockels , la rectificación óptica y la generación de segundo armónico ), y $\chi ^{(3)}$ es la susceptibilidad de tercer orden (que describe efectos de tercer orden como el efecto Kerr y la rectificación óptica inducida por campo eléctrico).

En los materiales ferroeléctricos , no existe ninguna correspondencia uno a uno entre $P$ y $E$ debido a la histéresis .

Densidad de polarización en las ecuaciones de Maxwell

El comportamiento de los campos eléctricos ( $E$ , $D$ ), los campos magnéticos ( $B$ , $H$ ), la densidad de carga ( $ρ$ ) y la densidad de corriente ( $J$ ) se describen mediante las ecuaciones de Maxwell en la materia .

Relaciones entre E, D y P

En términos de densidades de carga volumétrica, la densidad de carga libre $\rho _{\text{f}}$ es dado por

$\rho _{\text{f}}=\rho -\rho _{\text{b}}$

dónde $\rho$ es la densidad de carga total. Al considerar la relación de cada uno de los términos de la ecuación anterior con la divergencia de sus campos correspondientes (del campo de desplazamiento eléctrico $D$ , $E$ y $P$ en ese orden), esto se puede escribir como: ^{[ 9 ]}

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} .$

Esta se conoce como la ecuación constitutiva para campos eléctricos. Aquí, $ε₀$ $es$ la permitividad eléctrica del vacío. En esta ecuación, $P$ es el campo (negativo) inducido en el material cuando las cargas "fijas", los dipolos, se desplazan en respuesta al campo subyacente total $E$ , mientras que $D$ es el campo debido a las cargas restantes, conocidas como cargas "libres". ^{[ 5 ]}^{[ 10 ]}

En general, $P$ varía en función de $E$ dependiendo del medio, como se describe más adelante en el artículo. En muchos problemas, es más conveniente trabajar con $D$ y las cargas libres que con $E$ y la carga total. ^{[ 1 ]}

Por lo tanto, un medio polarizado, según el teorema de Green , puede dividirse en cuatro componentes.

La densidad de carga volumétrica ligada: $\rho _{\text{b}}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$
La densidad de carga superficial ligada: $\sigma _{\text{b}}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {P}$
La densidad de carga volumétrica libre: $\rho _{\text{f}}=\nabla \cdot \mathbf {D}$
La densidad de carga superficial libre: $\sigma _{\text{f}}=\mathbf {\hat {n}} _{\text{out}}\cdot \mathbf {D}$

Densidad de polarización variable en el tiempo

Cuando la densidad de polarización cambia con el tiempo, la densidad de carga ligada dependiente del tiempo crea una densidad de corriente de polarización .

$\mathbf {J} _{p}={\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$

de modo que la densidad de corriente total que entra en las ecuaciones de Maxwell viene dada por

$\mathbf {J} =\mathbf {J} _{\text{f}}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}$

donde $J f$ es la densidad de corriente de carga libre, y el segundo término es la densidad de corriente de magnetización (también llamada densidad de corriente ligada ), una contribución de los dipolos magnéticos a escala atómica (cuando están presentes).

Ambigüedad de polarización

Ejemplo de cómo la densidad de polarización en un cristal masivo puede ser ambigua. (a) Un cristal sólido. (b) Al emparejar las cargas positivas y negativas de cierta manera, el cristal parece tener una polarización hacia arriba. (c) Al emparejar las cargas de manera diferente, el cristal parece tener una polarización hacia abajo.

Materiales cristalinos

En un enfoque simple, la polarización dentro de un sólido no está, en general, definida de forma única. Debido a que un sólido macroscópico es periódico, se debe elegir una celda unitaria en la que calcular la polarización (véase la figura). ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} En otras palabras, dos personas, Alice y Bob, observando el mismo sólido, pueden calcular valores diferentes de $P$ , y ninguna de ellas estará equivocada. Por ejemplo, si Alice elige una celda unitaria con iones positivos en la parte superior y Bob elige la celda unitaria con iones negativos en la parte superior, sus vectores $P$ calculados tendrán direcciones opuestas. Alice y Bob coincidirán en el campo eléctrico microscópico $E$ en el sólido, pero discreparán en el valor del campo de desplazamiento. $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ .

Aunque el valor de $P$ no está definido de forma única en un sólido masivo, las variaciones en $P$ sí lo están . ^{[ 11 ]} Si el cristal cambia gradualmente de una estructura a otra, habrá una corriente dentro de cada celda unitaria, debido al movimiento de los núcleos y los electrones. Esta corriente produce una transferencia macroscópica de carga de un lado del cristal al otro y, por lo tanto, puede medirse con un amperímetro (como cualquier otra corriente) cuando se conectan cables a los lados opuestos del cristal. La integral temporal de la corriente es proporcional al cambio en $P.$ La corriente puede calcularse en simulaciones por computadora (como la teoría del funcional de la densidad ); la fórmula para la corriente integrada resulta ser un tipo de fase de Berry . ^{[ 11 ]}

La no unicidad de $P$ no es problemática, porque toda consecuencia medible de $P$ es, de hecho , consecuencia de un cambio continuo en $P.$ ^{[ 11 ]} Por ejemplo, cuando un material se coloca en un campo eléctrico $E$ , que aumenta gradualmente desde cero hasta un valor finito, las posiciones electrónicas e iónicas del material se desplazan ligeramente. Esto cambia $P$ , y el resultado es la susceptibilidad eléctrica (y por lo tanto la permitividad ). Como otro ejemplo, cuando algunos cristales se calientan, sus posiciones electrónicas e iónicas se desplazan ligeramente, cambiando $P.$ El resultado es la piroelectricidad . En todos los casos, las propiedades de interés están asociadas con un cambio en $P.$

En lo que ahora se denomina la teoría moderna de la polarización , esta se define como una diferencia. Cualquier estructura con simetría de inversión presenta polarización cero; existe una distribución idéntica de cargas positivas y negativas alrededor de un centro de inversión. Si el material se deforma, puede producirse una polarización debido a la carga en la distribución de carga. ^{[ 12 ]}

Materiales amorfos

Otro problema en la definición de $P$ está relacionado con la elección arbitraria del "volumen unitario", o más precisamente con la escala del sistema . ^{[ 5 ]} Por ejemplo, a escala microscópica un plasma puede considerarse como un gas de cargas libres , por lo que $P$ debería ser cero. Por el contrario, a escala macroscópica el mismo plasma puede describirse como un medio continuo, que exhibe una permitividad $\varepsilon (\omega )\neq 1$ y por lo tanto una polarización neta $P \neq 0$ .

Véase también

Referencias y notas

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Enlaces externos

Contenido multimedia relacionado con la polarización eléctrica en Wikimedia Commons.

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