Coeficiente

En matemáticas , un coeficiente es un factor multiplicativo involucrado en algún término de un polinomio , una serie o cualquier otro tipo de expresión . Puede ser un número sin unidades , en cuyo caso se conoce como factor numérico . ^{[ 1 ]} También puede ser una constante con unidades de medida , en cuyo caso se conoce como multiplicador constante . ^{[ 1 ]} En general, los coeficientes pueden ser cualquier expresión (incluidas variables como a , b y c ). ^{[ 2 ] [ 1 ]} Cuando la combinación de variables y constantes no está necesariamente involucrada en un producto , puede llamarse parámetro . ^{[ 1 ]} Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle 2x^{2}-x+3}$tiene coeficientes 2, −1 y 3, y las potencias de la variable${\displaystyle x}$en el polinomio${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$tienen parámetros de coeficiente${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$.

AEl coeficiente constante , también conocido comotérmino constanteo simplementeconstante, es una cantidad que está implícitamente unida a lapotencia cerode una variable o que no está unida a otras variables en una expresión; por ejemplo, los coeficientes constantes de las expresiones anteriores son el número 3 y el parámetroc, involucrados en 3=c⋅x⁰. El coeficiente unido al grado más alto de la variable en un polinomio de una variable se denominacoeficiente principal; por ejemplo, en las expresiones de ejemplo anteriores, los coeficientes principales son 2 ya, respectivamente.

En el contexto de las ecuaciones diferenciales , estas ecuaciones a menudo se pueden escribir en términos de polinomios en una o más funciones desconocidas y sus derivadas. En tales casos, los coeficientes de la ecuación diferencial son los coeficientes de este polinomio, y estos pueden ser funciones no constantes. Un coeficiente es constante cuando es una función constante . Para evitar confusiones, en este contexto, un coeficiente que no está asociado a funciones desconocidas o sus derivadas generalmente se denomina término constante en lugar de coeficiente constante. En particular, en una ecuación diferencial lineal con coeficiente constante , generalmente no se asume que el término de coeficiente constante sea una función constante.

En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio, una serie o cualquier expresión. Por ejemplo, en el polinomio $${\displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$$ con variables${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Los dos primeros términos tienen los coeficientes 7 y -3. El tercer término, 1,5, es el coeficiente constante. En el último término, el coeficiente es 1 y no se escribe explícitamente.

En muchos casos, los coeficientes son números (como ocurre con cada término del ejemplo anterior), aunque podrían ser parámetros del problema, o cualquier expresión en estos parámetros. En tal caso, es necesario distinguir claramente entre los símbolos que representan variables y los que representan parámetros. Siguiendo a René Descartes , las variables suelen denotarse por x , y , ..., y los parámetros por a , b , c , ..., pero no siempre es así. Por ejemplo, si y se considera un parámetro en la expresión anterior, entonces el coeficiente de x sería −3 y , y el coeficiente constante (con respecto a x ) sería 1,5 + y .

Cuando uno escribe $${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$$ Generalmente se asume que x es la única variable y que a , b y c son parámetros; por lo tanto, el coeficiente constante es c en este caso.

Cualquier polinomio en una sola variable x se puede escribir como $${\displaystyle a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$$ para algún entero no negativo${\displaystyle k}$, dónde${\displaystyle a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}}$son los coeficientes. Esto incluye la posibilidad de que algunos términos tengan coeficiente 0; por ejemplo, en${\displaystyle x^{3}-2x+1}$, el coeficiente de${\displaystyle x^{2}}$es 0, y el término${\displaystyle 0x^{2}}$no aparece explícitamente. Para el más grande${\displaystyle i}$de tal manera que${\displaystyle a_{i}\neq 0}$(si los hubiera),${\displaystyle a_{i}}$se denomina coeficiente principal del polinomio. Por ejemplo, el coeficiente principal del polinomio $${\displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$$ es 4. Esto se puede generalizar a polinomios multivariados con respecto a un orden monomial , ver base de Gröbner §  Término principal, coeficiente y monomio .

En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales se representa frecuentemente mediante su matriz de coeficientes . Por ejemplo, el sistema de ecuaciones $${\displaystyle {\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},}$$ La matriz de coeficientes asociada es${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.}$ Las matrices de coeficientes se utilizan en algoritmos como la eliminación gaussiana y la regla de Cramer para encontrar soluciones al sistema.

El elemento principal (a veces coeficiente principal ) de una fila en una matriz es el primer elemento distinto de cero en esa fila. Por ejemplo, en la matriz $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},}$$ El coeficiente principal de la primera fila es 1; el de la segunda fila es 2; el de la tercera fila es 4, mientras que la última fila no tiene coeficiente principal.

Aunque los coeficientes se consideran frecuentemente constantes en álgebra elemental, también pueden considerarse variables a medida que el contexto se amplía. Por ejemplo, las coordenadas${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$de un vector${\displaystyle v}$en un espacio vectorial con base${\displaystyle \lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace }$son los coeficientes de los vectores base en la expresión $${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.}$$

• Coeficiente de correlación
• Grado de un polinomio
• polinomio mónico
• Coeficiente binomial

• Sabah Al-hadad y CH Scott (1979) Álgebra universitaria con aplicaciones , página 42, Winthrop Publishers, Cambridge, Massachusetts ISBN 0-87626-140-3.
• Gordon Fuller, Walter L. Wilson, Henry C. Miller, (1982) Álgebra universitaria , 5.ª edición, página 24, Brooks/Cole Publishing, Monterey, California ISBN 0-534-01138-1.