Objeto libre

En matemáticas , la idea de objeto libre es uno de los conceptos básicos del álgebra abstracta . De manera informal, un objeto libre sobre un conjunto A puede considerarse como una estructura algebraica "genérica" ​​sobre A : las únicas ecuaciones válidas entre los elementos del objeto libre son aquellas que se derivan de los axiomas que definen la estructura algebraica. Algunos ejemplos son los monoides libres , los grupos libres , las álgebras tensoriales o los retículos libres .

Este concepto forma parte del álgebra universal , en el sentido de que se relaciona con todo tipo de estructuras algebraicas (con operaciones finitas ). También tiene una formulación en términos de teoría de categorías , aunque en términos aún más abstractos.

Los objetos libres son la generalización directa a categorías de la noción de base en un espacio vectorial. Una función lineal u  : E ₁ → E ₂ entre espacios vectoriales está completamente determinada por sus valores en una base del espacio vectorial E ₁ . La siguiente definición traslada esto a cualquier categoría.

Una categoría concreta es una categoría que está equipada con un functor fiel a Set , la categoría de conjuntos . Sea C una categoría concreta con un functor fiel U  : C → Set . Sea X un conjunto (es decir, un objeto en Set ), que será la base del objeto libre que se definirá. Un objeto libre en X es un par que consta de un objeto${\displaystyle A}$en C y una inyección${\displaystyle i:X\to U(A)}$, denominada inyección canónica , que satisface la siguiente propiedad universal :

Para cualquier objeto B en C y cualquier mapeo entre conjuntos${\displaystyle g:X\to U(B)}$, existe un morfismo único${\displaystyle f:A\to B}$en C tal que${\displaystyle g=U(f)\circ i}$. Es decir, el siguiente diagrama conmuta:

Si existen objetos libres en C , la propiedad universal implica que toda aplicación entre dos conjuntos induce un morfismo único entre los objetos libres construidos sobre ellos, y esto define un functor.${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$. De ello se deduce que, si existen objetos libres en C , el functor F , llamado functor libre , es un adjunto izquierdo del functor fiel U ; es decir, existe una biyección.

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,U(B))\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(F(X),B).}$

La creación de objetos libres se realiza en dos pasos. Para las álgebras que cumplen la ley asociativa , el primer paso consiste en considerar el conjunto de todas las palabras posibles formadas a partir de un alfabeto . A continuación, se impone un conjunto de relaciones de equivalencia sobre las palabras, donde dichas relaciones son las que definen el objeto algebraico en cuestión. El objeto libre consta entonces del conjunto de clases de equivalencia .

Consideremos, por ejemplo, la construcción del grupo libre en dos generadores . Se comienza con un alfabeto que consta de las cinco letras.${\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}}$. En el primer paso, todavía no hay ningún significado asignado a las "letras".${\displaystyle a^{-1}}$o${\displaystyle b^{-1}}$; estos se darán más adelante, en el segundo paso. Por lo tanto, uno podría comenzar igualmente bien con el alfabeto en cinco letras, es decir${\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}}$. En este ejemplo, el conjunto de todas las palabras o cadenas${\displaystyle W(S)}$Incluirá cadenas como aebecede y abdc , y así sucesivamente, de longitud finita arbitraria, con las letras dispuestas en cualquier orden posible.

En el siguiente paso, se impone un conjunto de relaciones de equivalencia. Las relaciones de equivalencia para un grupo son las de multiplicación por la identidad,${\displaystyle ge=eg=g}$y la multiplicación de inversos:${\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e}$Aplicando estas relaciones a las cadenas anteriores, se obtiene

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

donde se entendió que${\displaystyle c}$es un sustituto de${\displaystyle a^{-1}}$, y${\displaystyle d}$es un sustituto de${\displaystyle b^{-1}}$, mientras${\displaystyle e}$es el elemento identidad. De manera similar, uno tiene

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

Denotando la relación de equivalencia o congruencia por${\displaystyle \sim }$, el objeto libre es entonces la colección de clases de equivalencia de palabras. Por lo tanto, en este ejemplo, el grupo libre en dos generadores es el cociente

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

Esto se escribe a menudo como${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$dónde${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$es el conjunto de todas las palabras, y${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$es la clase de equivalencia de la identidad, después de que se imponen las relaciones que definen un grupo.

Un ejemplo más sencillo son los monoides libres . El monoide libre sobre un conjunto X es el monoide de todas las cadenas finitas que utilizan X como alfabeto, con la operación de concatenación de cadenas. La identidad es la cadena vacía. En esencia, el monoide libre es simplemente el conjunto de todas las palabras, sin imponer relaciones de equivalencia. Este ejemplo se desarrolla con más detalle en el artículo sobre la estrella de Kleene .

Dejar${\displaystyle S}$ser un conjunto y${\displaystyle A}$ser una estructura algebraica de tipo${\displaystyle \rho }$generado por${\displaystyle S}$El conjunto subyacente de esta estructura algebraica${\displaystyle A}$, a menudo llamado su universo, se denota por${\displaystyle A}$. Dejar${\displaystyle \psi :S\to A}$ser una función. Decimos que${\displaystyle (A,\psi )}$(o informalmente solo${\displaystyle A}$) es un álgebra libre de tipo${\displaystyle \rho }$en el set${\displaystyle S}$de generadores libres si se cumple la siguiente propiedad universal:

Para cada álgebra${\displaystyle B}$de tipo${\displaystyle \rho }$y cada función${\displaystyle \tau :S\to B}$, dónde${\displaystyle B}$es el universo de${\displaystyle B}$, existe un homomorfismo único${\displaystyle \sigma :A\to B}$de tal manera que el siguiente diagrama conmuta:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}S&\xrightarrow {\psi } &A\\&\searrow _{\tau }&\downarrow ^{\sigma }\\&&B\ \end{array}}}$

Esto significa que${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau }$.

El entorno más general para un objeto libre se encuentra en la teoría de categorías , donde se define un functor , el functor libre , que es el adjunto izquierdo del functor olvidadizo .

Consideremos una categoría C de estructuras algebraicas ; los objetos pueden pensarse como conjuntos más operaciones, que obedecen algunas leyes. Esta categoría tiene un functor,${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$, el functor olvidadizo , que mapea objetos y morfismos en C a Set , la categoría de conjuntos . El functor olvidadizo es muy simple: simplemente ignora todas las operaciones.

El functor libre F , cuando existe, es el adjunto izquierdo de U. Es decir,${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$toma conjuntos X en Set a sus correspondientes objetos libres F ( X ) en la categoría C . El conjunto X puede pensarse como el conjunto de "generadores" del objeto libre F ( X ).

Para que el functor libre sea un adjunto izquierdo, también debe tener un morfismo de conjuntos.${\displaystyle \eta _{X}:X\to U(F(X))\,\!}$. Más explícitamente, F se caracteriza, salvo isomorfismos en C , por la siguiente propiedad universal :

Siempre que B sea un álgebra en C y${\displaystyle g\colon X\to U(B)}$Si es una función (un morfismo en la categoría de conjuntos), entonces existe un único C -morfismo.${\displaystyle f\colon F(X)\to B}$de tal manera que${\displaystyle g=U(f)\circ \eta _{X}}$.

Concretamente, esto envía un conjunto al objeto libre de ese conjunto; es la "inclusión de una base". Abusando de la notación,${\displaystyle X\to F(X)}$(esto abusa de la notación porque X es un conjunto, mientras que F ( X ) es un álgebra; correctamente, es${\displaystyle X\to U(F(X))}$).

La transformación natural${\displaystyle \eta$ :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF} se denomina unidad ; junto con la counidad.${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$, se puede construir un álgebra T y, por lo tanto, una mónada .

El functor cofree es el adjunto derecho del functor forgetful. Véase, por ejemplo, Cofree coalgebra .

Entre los tipos específicos de objetos gratuitos se incluyen:

• álgebra libre
  • álgebra asociativa libre
  • álgebra conmutativa libre
• categoría libre
  • categoría monoide estricta libre
• grupo libre
  • grupo abeliano libre
  • grupo parcialmente conmutativo libre
• Álgebra de Kleene gratuita
• red libre
  • Álgebra booleana gratuita
  • red distributiva libre
  • Álgebra de Heyting gratuita
  • retículo modular libre
• Álgebra de Lie gratuita
• magma libre
• módulo libre y, en particular, espacio vectorial
• monoide libre
  • monoide conmutativo libre
  • monoide parcialmente conmutativo libre
• anillo gratis
• semigrupo libre
• semianillo gratis
  • semianillo conmutativo libre
• teoría libre
• álgebra de términos
• espacio discreto

• Conjunto generador
• objeto inicial

• En nLab : functor libre , objeto libre , espacio vectorial