Probabilidad libre

La probabilidad libre es una teoría matemática que estudia las variables aleatorias no conmutativas . La propiedad de "libertad" o independencia libre es el análogo de la noción clásica de independencia y está relacionada con los productos libres .

Esta teoría fue iniciada por Dan Voiculescu alrededor de 1986 para abordar el problema del isomorfismo de factores de grupos libres, un importante problema sin resolver en la teoría de álgebras de operadores . Dado un grupo libre con cierto número de generadores, podemos considerar el álgebra de von Neumann generada por el álgebra de grupo , que es un factor de tipo II _1. El problema del isomorfismo pregunta si estos son isomorfos para diferentes números de generadores. Ni siquiera se sabe si dos factores de grupos libres cualesquiera son isomorfos. Esto es similar al problema del grupo libre de Tarski , que pregunta si dos grupos libres finitamente generados no abelianos diferentes tienen la misma teoría elemental.

Posteriormente se establecieron conexiones con la teoría de matrices aleatorias , la combinatoria , las representaciones de grupos simétricos , las grandes desviaciones , la teoría de la información cuántica y otras teorías. La probabilidad libre es actualmente objeto de intensa investigación.

Normalmente, las variables aleatorias pertenecen a un álgebra unitaria A, como un álgebra C* o un álgebra de von Neumann . El álgebra viene equipada con una esperanza no conmutativa , un funcional lineal φ: A → C tal que φ(1) = 1. Se dice que las subálgebras unitarias A ₁ , ..., A _m son libremente independientes si la esperanza del producto a ₁ ... a _n es cero siempre que cada a _j tenga esperanza cero, pertenezca a un A _k , ningún a _j adyacente provenga de la misma subálgebra A _k , y n sea distinto de cero. Las variables aleatorias son libremente independientes si generan subálgebras unitarias libremente independientes.

Uno de los objetivos de la probabilidad libre (aún no alcanzado) era construir nuevos invariantes de las álgebras de von Neumann , y la dimensión libre se considera una candidata razonable para tal invariante. La principal herramienta utilizada para la construcción de la dimensión libre es la entropía libre.

La relación entre la probabilidad libre y las matrices aleatorias es una razón fundamental para el amplio uso de la probabilidad libre en otros campos. Voiculescu introdujo el concepto de libertad alrededor de 1983 en un contexto de álgebra de operadores; al principio, no existía ninguna relación con las matrices aleatorias. Esta conexión fue revelada posteriormente, en 1991, por el propio Voiculescu, motivado por el hecho de que la distribución límite que halló en su teorema del límite central libre ya había aparecido en la ley del semicírculo de Wigner en el contexto de las matrices aleatorias.

El funcional cumulante libre (introducido por Roland Speicher ) ^{[ 1 ]} juega un papel fundamental en la teoría. Está relacionado con el retículo de particiones no cruzadas del conjunto {1, ..., n } de la misma manera que el funcional cumulante clásico está relacionado con el retículo de todas las particiones de ese conjunto.

• Matriz aleatoria
• Distribución semicircular de Wigner
• Ley circular
• convolución libre

• Voiculescu recibe el premio NAS de matemáticas ; contiene una descripción legible de la probabilidad libre.
• RMTool : una calculadora de probabilidad gratuita basada en MATLAB.