Flujo en canal abierto

La ecuación general de continuidad , que describe la conservación de la masa, tiene la siguiente forma:$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$dónde${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido y${\displaystyle \nabla \cdot ()}$es el operador de divergencia . Bajo la suposición de flujo incompresible, con un volumen de control constante${\displaystyle V}$, esta ecuación tiene la expresión simple${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$Sin embargo, es posible que el área de la sección transversal${\displaystyle A}$puede cambiar con el tiempo y el espacio en el canal. Si partimos de la forma integral de la ecuación de continuidad:$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$Es posible descomponer la integral de volumen en una sección transversal y una longitud, lo que conduce a la siguiente forma:$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$Bajo la suposición de un flujo incompresible unidimensional, esta ecuación se convierte en:$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$Al observar que${\displaystyle \int _{A}dA=A}$y definiendo el caudal volumétrico${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$, la ecuación se reduce a:$${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$Finalmente, esto conduce a la ecuación de continuidad para el flujo incompresible unidimensional en un canal abierto:

La ecuación de momento para el flujo en canal abierto se puede obtener partiendo de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles  :$${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$dónde${\displaystyle p}$es la presión ,${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática ,${\displaystyle \Delta }$es el operador de Laplace y${\displaystyle \Phi =gz}$es el potencial gravitatorio . Al invocar el número de Reynolds alto y las suposiciones de flujo 1D, tenemos las ecuaciones:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$La segunda ecuación implica una presión hidrostática${\displaystyle p=\rho g\zeta }$donde la profundidad del canal${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$es la diferencia entre la elevación de la superficie libre${\displaystyle \zeta }$y el fondo del canal${\displaystyle z_{b}}$Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos:$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$donde la pendiente del lecho del canal${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$Para tener en cuenta el esfuerzo cortante a lo largo de las orillas del canal, podemos definir el término de fuerza como:$${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$dónde${\displaystyle \tau }$es el esfuerzo cortante y${\displaystyle R}$es el radio hidráulico . Definiendo la pendiente de fricción${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$, una forma de cuantificar las pérdidas por fricción, conduce a la forma final de la ecuación de momento:

Para derivar una ecuación de energía , tenga en cuenta que el término de aceleración advectiva${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$puede descomponerse como:$${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$dónde${\displaystyle \omega }$es la vorticidad del flujo y${\displaystyle \|\cdot \|}$es la norma euclidiana . Esto conduce a una forma de la ecuación de momento, ignorando el término de fuerzas externas, dada por:$${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$Tomando el producto escalar de${\displaystyle {\bf {v}}}$Esta ecuación conduce a:$${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$Esta ecuación se obtuvo utilizando el triple producto escalar.${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$. Definir${\displaystyle E}$ser la densidad de energía :$${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$Observando que${\displaystyle \Phi }$es independiente del tiempo, llegamos a la ecuación:$${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$Suponiendo que la densidad de energía es independiente del tiempo y que el flujo es unidimensional, se llega a la siguiente simplificación:$${\displaystyle E+p=C}$$con${\displaystyle C}$siendo una constante; esto es equivalente al principio de Bernoulli . De particular interés en el flujo de canal abierto es la energía específica.${\displaystyle e=E/\rho g}$, que se utiliza para calcular la carga hidráulica${\displaystyle h}$que se define como:

con${\displaystyle \gamma =\rho g}$siendo el peso específico . Sin embargo, los sistemas realistas requieren la adición de un término de pérdida de carga .${\displaystyle h_{f}}$para tener en cuenta la disipación de energía debida a la fricción y la turbulencia que se ignoraba al descartar el término de fuerzas externas en la ecuación de momento.

Además de los métodos de cálculo teóricos anteriores, existen métodos empíricos que simplifican el cálculo y la cantidad de datos necesarios sobre el flujo y el canal. En Estados Unidos, el método más común para calcular el flujo de agua en canales abiertos es la ecuación de Manning . ^{[ 5 ] [ 6 ]} La ecuación de Manning, que se aplica a flujos uniformes, solo requiere el radio hidráulico del flujo, la pendiente del canal y un coeficiente de Manning para la rugosidad, n .