Probabilidad frecuentista

La probabilidad frecuentista o frecuentismo es una interpretación de la probabilidad ; define la probabilidad de un evento (la probabilidad a largo plazo ) como el límite de su frecuencia relativa en un número infinito de ensayos . ^{[ 2 ]} Las probabilidades pueden hallarse (en principio) mediante un proceso objetivo y repetible, como el muestreo repetido de la misma población , y por lo tanto, idealmente, carecen de subjetividad. Sin embargo, el uso continuado de los métodos frecuentistas en la inferencia científica ha sido cuestionado. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

El desarrollo de la teoría frecuentista surgió a raíz de los problemas y paradojas de la interpretación clásica , que hasta entonces había sido la dominante . En esta interpretación, la probabilidad se definía en términos del principio de indiferencia , basado en la simetría natural de un problema; así, por ejemplo, las probabilidades de los juegos de dados se derivan de la simetría natural de seis caras del cubo. Sin embargo, esta interpretación clásica tiene dificultades para explicar la probabilidad en sistemas sin simetrías naturales.

En la interpretación frecuentista, las probabilidades se discuten únicamente al tratar con experimentos aleatorios bien definidos. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se denomina espacio muestral del experimento. Un evento se define como un subconjunto particular del espacio muestral que se considera. Para cualquier evento dado, solo puede darse una de dos posibilidades: ocurre o no ocurre. La frecuencia relativa de ocurrencia de un evento, observada en varias repeticiones del experimento, es una medida de la probabilidad de dicho evento. Esta es la concepción central de la probabilidad en la interpretación frecuentista.

Una afirmación del enfoque frecuentista es que, a medida que aumenta el número de ensayos, la variación en la frecuencia relativa disminuye. Por lo tanto, se puede considerar la probabilidad como el valor límite de las frecuencias relativas correspondientes.

La interpretación frecuentista es un enfoque filosófico para la definición y el uso de probabilidades; es uno de varios enfoques de este tipo. No pretende abarcar todas las connotaciones del concepto de «probable» en el lenguaje coloquial de las lenguas naturales.

Como interpretación, no entra en conflicto con la axiomatización matemática de la teoría de la probabilidad; más bien, proporciona orientación sobre cómo aplicar la teoría matemática de la probabilidad a situaciones del mundo real. Ofrece una guía específica para la construcción y el diseño de experimentos prácticos, especialmente en comparación con la interpretación bayesiana . La utilidad de esta guía, o su posible malinterpretación, ha sido objeto de controversia. Esto es particularmente cierto cuando se asume erróneamente que la interpretación frecuentista de la probabilidad es la única base posible para la inferencia frecuentista . Así, por ejemplo, una lista de interpretaciones erróneas del significado de los valores p acompaña al artículo sobre valores p ; las controversias se detallan en el artículo sobre pruebas de hipótesis estadísticas . La paradoja de Jeffreys-Lindley muestra cómo diferentes interpretaciones, aplicadas al mismo conjunto de datos, pueden conducir a diferentes conclusiones sobre la "significación estadística" de un resultado.

Como señala Feller : ^{[ a ]}

En nuestro sistema no hay lugar para especulaciones sobre la probabilidad de que el sol salga mañana . Antes de hablar de ello, tendríamos que ponernos de acuerdo en un modelo (idealizado) que presumiblemente funcionaría según el principio de que "de entre infinitos mundos, uno se selecciona al azar  ...". Se requiere poca imaginación para construir un modelo así, pero resulta poco interesante y carente de sentido. ^{[ 6 ]}

La visión frecuentista puede haber sido prefigurada por Aristóteles , en su Retórica , ^{[ 7 ]} cuando escribió:

Lo probable es aquello que sucede en la mayoría de los casos — Aristóteles, Retórica ^{[ 8 ]}

Poisson (1837) distinguió claramente entre probabilidades objetivas y subjetivas. ^{[ 9 ]} Poco después, una serie de publicaciones casi simultáneas de Mill , Ellis (1843) ^{[ 10 ]} y Ellis (1854), ^{[ 11 ]} Cournot (1843), ^{[ 12 ]} y Fries introdujeron la visión frecuentista. Venn (1866, 1876, 1888) ^{[ 1 ]} proporcionó una exposición exhaustiva dos décadas más tarde. Estas fueron respaldadas además por las publicaciones de Boole y Bertrand . A finales del  siglo XIX, la interpretación frecuentista estaba bien establecida y quizás era dominante en las ciencias. ^{[ 9 ]} La siguiente generación estableció las herramientas de la estadística inferencial clásica (pruebas de significancia, pruebas de hipótesis e intervalos de confianza) todas basadas en la probabilidad frecuentista.

Alternativamente, ^{[ 13 ]} Bernoulli ^{[ b ]} comprendió el concepto de probabilidad frecuentista y publicó una prueba crítica (la ley débil de los grandes números ) póstumamente (Bernoulli, 1713). ^{[ 14 ]} También se le atribuye cierta apreciación por la probabilidad subjetiva (antes y sin el teorema de Bayes ). ^{[ 15 ] [ c ] [ 16 ]} Gauss y Laplace utilizaron la probabilidad frecuentista (y otras) en derivaciones del método de mínimos cuadrados un siglo después, una generación antes que Poisson. ^{[ 13 ]} Laplace consideró las probabilidades de testimonios, tablas de mortalidad, sentencias de tribunales, etc., que son candidatos improbables para la probabilidad clásica. En este sentido, la contribución de Poisson fue su aguda crítica de la interpretación alternativa de la probabilidad "inversa" (subjetiva, bayesiana). Cualquier crítica de Gauss o Laplace fue atenuada e implícita. (Sin embargo, cabe señalar que sus derivaciones posteriores de mínimos cuadrados no utilizaron la probabilidad inversa).

Entre los principales contribuyentes a la estadística "clásica" a principios del siglo XX se encontraban Fisher , Neyman y Pearson . Fisher contribuyó a la mayor parte de la estadística e hizo de las pruebas de significación el núcleo de la ciencia experimental, aunque criticó el concepto frecuentista de "muestreo repetido de la misma población" ; ^{[ 17 ]} Neyman formuló los intervalos de confianza y contribuyó significativamente a la teoría del muestreo; Neyman y Pearson colaboraron en la creación de las pruebas de hipótesis. Todos valoraban la objetividad, por lo que la mejor interpretación de la probabilidad disponible para ellos era la frecuentista.

Todos desconfiaban de la "probabilidad inversa" (la alternativa disponible) con probabilidades previas elegidas mediante el principio de indiferencia. Fisher dijo: "...  la teoría de la probabilidad inversa se basa en un error, [refiriéndose al teorema de Bayes] y debe ser rechazada por completo". ^{[ 18 ]} Mientras que Neyman era un frecuentista puro, ^{[ 19 ] [ d ]} las ideas de Fisher sobre la probabilidad eran únicas: tanto Fisher como Neyman tenían una visión matizada de la probabilidad. Von Mises ofreció una combinación de apoyo matemático y filosófico al frecuentismo en la época. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Según el Oxford English Dictionary , el término frecuentista fue utilizado por primera vez por MG Kendall en 1949, para contrastarlo con los bayesianos , a quienes llamó no frecuentistas . ^{[ 22 ] [ 23 ]} Kendall observó

3. ... podemos distinguir a grandes rasgos dos actitudes principales. Una toma la probabilidad como 'un grado de creencia racional', o alguna idea similar... la segunda define la probabilidad en términos de frecuencias de ocurrencia de eventos, o por proporciones relativas en 'poblaciones' o 'colectivos'; ^{[ 23 ] (p 101)}

...

12. Podría pensarse que las diferencias entre los frecuentistas y los no frecuentistas (si se me permite llamarlos así) se deben en gran medida a las diferencias de los dominios que pretenden abarcar. ^{[ 23 ] (p 104)}

...

Sostengo que esto no es así ... La distinción esencial entre los frecuentistas y los no frecuentistas es, a mi parecer, que los primeros, en un esfuerzo por evitar cualquier atisbo de opinión, buscan definir la probabilidad en términos de las propiedades objetivas de una población, real o hipotética, mientras que los segundos no. [énfasis en el original]

"La teoría de la frecuencia de la probabilidad" se utilizó una generación antes como título de un capítulo en Keynes (1921). ^{[ 7 ]}

La secuencia histórica:

1. Los conceptos de probabilidad se introdujeron y gran parte de las matemáticas de la probabilidad se derivaron (antes del  siglo XX).
2. Se desarrollaron métodos clásicos de inferencia estadística.
3. Se consolidaron los fundamentos matemáticos de la probabilidad y se introdujo la terminología actual (todo ello en el siglo XX).

Las fuentes históricas primarias en probabilidad y estadística no utilizaban la terminología actual de probabilidad clásica , subjetiva (bayesiana) y frecuentista .

La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas. Si bien sus raíces se remontan a siglos atrás, alcanzó su madurez con los axiomas de Andrey Kolmogorov en 1933. La teoría se centra en las operaciones válidas sobre valores de probabilidad, más que en la asignación inicial de valores; las matemáticas son en gran medida independientes de cualquier interpretación de la probabilidad.

Las aplicaciones e interpretaciones de la probabilidad son consideradas por la filosofía, las ciencias y la estadística. Todas están interesadas en la extracción de conocimiento a partir de observaciones: razonamiento inductivo . Hay una variedad de interpretaciones en competencia; ^{[ 24 ]} Todas tienen problemas. La interpretación frecuentista resuelve dificultades con la interpretación clásica, como cualquier problema donde se desconoce la simetría natural de los resultados. No aborda otros problemas, como el libro holandés .

• La probabilidad clásica asigna probabilidades basándose en una simetría física idealizada (dados, monedas, cartas). La definición clásica corre el riesgo de ser circular: las probabilidades se definen asumiendo la igualdad de probabilidades. ^{[ 25 ]} En ausencia de simetría, la utilidad de la definición es limitada.

• La probabilidad subjetiva (bayesiana) (una familia de interpretaciones en competencia) considera grados de creencia: Todas las interpretaciones prácticas de probabilidad "subjetiva" están tan restringidas a la racionalidad que evitan la mayor parte de la subjetividad. La subjetividad real es repulsiva para algunas definiciones de ciencia que buscan resultados independientes del observador y el analista. Otras aplicaciones del bayesianismo en la ciencia (por ejemplo, el bayesianismo lógico) aceptan la subjetividad inherente de muchos estudios y objetos científicos y utilizan el razonamiento bayesiano para establecer límites y contexto a la influencia de las subjetividades en todo análisis. ^{[ 26 ]} Las raíces históricas de este concepto se extendieron a aplicaciones no numéricas como la evidencia legal.

• La probabilidad de propensión considera la probabilidad como un fenómeno causal en lugar de uno puramente descriptivo o subjetivo. ^{[ 24 ]}