difracción de Fresnel

El principal problema para resolver la integral es la expresión de r . Primero, podemos simplificar el álgebra introduciendo la sustitución. $${\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}.}$$

Sustituyendo en la expresión para r , encontramos $${\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}.}$$

A continuación, mediante la expansión binomial, $${\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }$$

Podemos expresar${\displaystyle r}$como $${\displaystyle {\begin{aligned}r&=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}\\&=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]\\&=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Si consideramos todos los términos de la serie binomial , entonces no hay aproximación. ^{[ 5 ]} Sustituyamos esta expresión en el argumento de la exponencial dentro de la integral; la clave de la aproximación de Fresnel es suponer que el tercer término es muy pequeño y puede ignorarse, y por consiguiente cualquier orden superior. Para que esto sea posible, tiene que contribuir a la variación de la exponencial para un término casi nulo. En otras palabras, tiene que ser mucho menor que el período de la exponencial compleja, es decir,${\displaystyle 2\pi }$: $${\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}$$

Expresando k en términos de la longitud de onda, $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},}$$

obtenemos la siguiente relación: $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8.}$$

Multiplicando ambos lados por${\displaystyle z^{3}/\lambda ^{3},}$tenemos $${\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{\lambda ^{4}}}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}},}$$

o bien, sustituyendo la expresión anterior por${\displaystyle \rho ^{2},}$$${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{4}}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]^{2}\ll 8{\frac {z^{3}}{\lambda ^{3}}}.}$$

Si esta condición se cumple para todos los valores de x , x' , y e y ' , podemos ignorar el tercer término de la expresión de Taylor. Además, si el tercer término es despreciable, todos los términos de orden superior serán aún menores, por lo que también podemos ignorarlos.

Para aplicaciones que involucran longitudes de onda ópticas, la longitud de onda λ suele ser muchos órdenes de magnitud menor que las dimensiones físicas relevantes. En particular, $${\displaystyle \lambda \ll z,}$$

y $${\displaystyle \lambda \ll \rho .}$$

Por lo tanto, en la práctica, la desigualdad requerida siempre será cierta siempre que $${\displaystyle \rho \ll z.}$$

Entonces podemos aproximar la expresión utilizando solo los dos primeros términos: $${\displaystyle r\approx z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}=z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}.}$$

Esta ecuación es la aproximación de Fresnel , y la desigualdad enunciada anteriormente es una condición para la validez de la aproximación.

La condición de validez es bastante débil y permite que todos los parámetros de longitud tomen valores comparables, siempre que la apertura sea pequeña en comparación con la longitud del camino. Para la r en el denominador vamos un paso más allá y la aproximamos solo con el primer término,${\displaystyle r\approx z.}$Esto es especialmente cierto si nos interesa el comportamiento del campo únicamente en una pequeña área cercana al origen, donde los valores de x e y son mucho menores que z . En general, la difracción de Fresnel es válida si el número de Fresnel es aproximadamente  1.

Para la difracción de Fresnel, el campo eléctrico en el punto${\displaystyle (x,y,z)}$entonces se da por $${\displaystyle E(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{\frac {ik}{2z}}\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\right]}\,dx'dy'.}$$

Esta es la integral de difracción de Fresnel; significa que, si la aproximación de Fresnel es válida, el campo propagante es una onda esférica que se origina en la apertura y se mueve a lo largo del eje z . La integral modula la amplitud y la fase de la onda esférica. La solución analítica de esta expresión aún solo es posible en casos excepcionales. Para un caso aún más simplificado, válido solo para distancias mucho mayores de la fuente de difracción, véase la difracción de Fraunhofer . A diferencia de la difracción de Fraunhofer, la difracción de Fresnel tiene en cuenta la curvatura del frente de onda para calcular correctamente la fase relativa de las ondas interferentes.

La integral se puede expresar de otras maneras para calcularla utilizando algunas propiedades matemáticas. Si definimos la función $${\displaystyle h(x,y,z)={\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})},}$$

Entonces la integral se puede expresar en términos de una convolución : $${\displaystyle E(x,y,z)=E(x,y,0)*h(x,y,z);}$$

En otras palabras, estamos representando la propagación utilizando un modelo de filtro lineal. Por eso podríamos llamar a la función${\displaystyle h(x,y,z)}$la respuesta impulsional de la propagación en el espacio libre.

Otra forma posible es mediante la transformada de Fourier . Si en la integral expresamos k en términos de la longitud de onda: $${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$$

y desarrollar cada componente del desplazamiento transversal: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x-x'\right)^{2}&=x^{2}+x'^{2}-2xx',\\\left(y-y'\right)^{2}&=y^{2}+y'^{2}-2yy',\end{aligned}}}$$

Entonces podemos expresar la integral en términos de la transformada de Fourier bidimensional. Usemos la siguiente definición: $${\displaystyle G(p,q)={\mathcal {F}}\{g(x,y)\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (px+qy)}\,dx\,dy,}$$

donde p y q son frecuencias espaciales ( números de onda ). La integral de Fresnel se puede expresar como $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,y,z)&=\left.{\frac {e^{ikz}}{i\lambda z}}e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x^{2}+y^{2})}{\mathcal {F}}\left\{E(x',y',0)e^{i{\frac {\pi }{\lambda z}}(x'^{2}+y'^{2})}\right\}\right|_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}\\&=h(x,y)\cdot G(p,q){\big |}_{p={\frac {x}{\lambda z}},\ q={\frac {y}{\lambda z}}}.\end{aligned}}}$$

Es decir, primero multiplicar el campo a propagar por una exponencial compleja, calcular su transformada de Fourier bidimensional, reemplazar${\displaystyle (p,q)}$con${\displaystyle \left({\tfrac {x}{\lambda z}},{\tfrac {y}{\lambda z}}\right)}$y multiplícalo por otro factor. Esta expresión es mejor que las demás cuando el proceso conduce a una transformada de Fourier conocida, y la conexión con la transformada de Fourier se refuerza en la transformación canónica lineal , que se analiza más adelante.

Desde el punto de vista de la transformación canónica lineal , la difracción de Fresnel puede verse como un cizallamiento en el dominio tiempo-frecuencia , lo que corresponde a cómo la transformada de Fourier es una rotación en el dominio tiempo-frecuencia.