Curva de Frey

En matemáticas , una curva de Frey o curva de Frey - Hellegouarch es una curva elíptica.$${\displaystyle y^{2}=x(x-\alpha )(x+\beta )}$$ asociado con un triple ABC${\displaystyle \alpha +\beta =\gamma }$Esto relaciona las propiedades de las soluciones de ecuaciones con curvas elípticas. Esta curva se popularizó en su aplicación al Último Teorema de Fermat, donde se investiga una solución (hipotética) de la ecuación de Fermat.

${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell }.}$

La curva recibe su nombre en honor a Gerhard Frey y (a veces) a Yves Hellegouarch .

Yves Hellegouarch ( 1975 ) propuso la idea de asociar soluciones. ${\displaystyle (a,b,c)}$de la ecuación de Fermat con un objeto matemático completamente diferente: una curva elíptica. ^{[ 1 ]} Si ℓ es un primo impar y a , b , y c son enteros positivos tales que $${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell },}$$ Entonces, una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación $${\displaystyle y^{2}=x(xa^{\ell })(x+b^{\ell }),}$$ o, equivalentemente $${\displaystyle y^{2}=x(xa^{\ell })(xc^{\ell }).}$$ Esta es una curva algebraica no singular de género uno definida sobre Q , y su completación proyectiva es una curva elíptica sobre Q.

Gerhard Frey ( 1982 ) llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva que Hellegouarch, que pasó a llamarse curva de Frey. Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama al demostrar que un contraejemplo al Último Teorema de Fermat crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo considerable interés cuando Frey (1986) sugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el Último Teorema de Fermat. ^{[ 2 ]} Sin embargo, su argumento no fue completo. En 1985, Jean-Pierre Serre propuso que una curva de Frey no podía ser modular y proporcionó una demostración parcial de esto. Esto demostró que una demostración del caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría el Último Teorema de Fermat. Serre no proporcionó una demostración completa y lo que faltaba se conoció como la conjetura épsilon o conjetura ε. En el verano de 1986, Ribet (1990) demostró la conjetura épsilon, probando así que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el último teorema de Fermat. ^{[ 3 ]} 

• Frey, Gerhard (1986), "Vínculos entre curvas elípticas estables y ciertas ecuaciones diofánticas", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387  
• Frey, Gerhard (1982), "Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven", J. reine angew. Matemáticas. , 331 : 185-191​
• Hellegouarch, Yves (1975), "Points d'ordre 2p ^h sur les courbes elliptiques" (PDF) , Polska Akademia Nauk. Instituto Matematyczny. Acta Arithmetica , 26 (3): 253– 263, ISSN 0065-1036 , SEÑOR 0379507  
• Hellegouarch, Yves (2000), "Rectificatif à l'article de H. Darmon intitulé  : "La Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est enfin démontré"" , Gazette des Mathématiciens , 83 , ISSN 0224-8999 , archivado del original el 04-02-2012 , recuperado el 02-01-2012 
• Hellegouarch, Yves (2002), Invitación a las matemáticas de Fermat-Wiles , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-339251-0, MR 1475927 
• Ribet, Kenneth A. (1990), "Sobre representaciones modulares de Gal( Q /Q) que surgen de formas modulares", Inventiones Mathematicae , 100 (2): 431–476 , Bibcode : 1990InMat.100..431R , doi : 10.1007/BF01231195 , hdl : 10338.dmlcz/147454 , ISSN 0020-9910 , MR 1047143 , S2CID 120614740