Teorema de Friedlander-Iwaniec

En la teoría analítica de números, el teorema de Friedlander-Iwaniec establece que existen infinitos números primos de la forma${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$Los primeros números primos de este tipo son:

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (secuencia A028916 en el OEIS ) .

La dificultad de esta afirmación radica en la naturaleza muy dispersa de esta secuencia: el número de enteros de la forma${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$menos que${\displaystyle X}$es aproximadamente del orden${\displaystyle X^{3/4}}$.

El teorema fue demostrado en 1997 por John Friedlander y Henryk Iwaniec . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Iwaniec recibió el Premio Ostrowski de 2001 en parte por sus contribuciones a este trabajo. ^{[ 3 ]}

El teorema fue refinado por DR Heath-Brown y Xiannan Li en 2017. ^{[ 4 ]} En particular, demostraron que el polinomio${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$representa infinitos números primos cuando la variable${\displaystyle b}$También se requiere que sea primo. Es decir, si${\displaystyle f(n)}$¿Son los números primos menores que...?${\displaystyle n}$en la forma${\displaystyle a^{2}+b^{4},}$entonces

${\displaystyle f(n)\sim v{\frac {x^{3/4}}{\log {x}}}}$

dónde

${\displaystyle v=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (5/4)}{\Gamma (7/4)}}\prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}{\frac {p-2}{p-1}}\prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}.}$

En 2024, un artículo de Stanley Yao Xiao ^{[ 5 ]} generalizó los teoremas de Friedlander-Iwaniec y Heath-Brown-Li a formas cuadráticas binarias generales, incluidas las formas indefinidas. En particular, se tiene, para${\displaystyle f(x,y)\in \mathbb {Z} [x,y]}$una forma cuadrática binaria definida positiva que satisface${\displaystyle f(x,1)\not \equiv x(x+1){\pmod {2}}}$, uno tiene, por${\displaystyle \lambda }$la función de indicador principal y

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{f}=\operatorname {Área} \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:f(x,y^{2})\leq 1\}}$

y

${\displaystyle \nu _{f}=\prod _{p\nmid \Delta (f)}\left(1-{\frac {\rho _{f}(p)}{p}}\right)\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}\prod _{p|\Delta (f)}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1},}$

con${\displaystyle \rho _{f}(m)=\#\{x{\pmod {m}}:f(x,1)\equiv 0{\pmod {m}}\}}$, la fórmula asintótica:

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}m,\ell \in \mathbb {Z} \\f(m,\ell ^{2})\leq X\end{array}}\lambda (f(m,\ell ^{2}))={\frac {\nu _{f}{\mathfrak {S}}_{f}X^{3/4}}{\log X}}\left(1+O\left({\frac {\log \log X}{\log X}}\right)\right)}$

Aquí${\displaystyle \Delta (f)}$es el discriminante de la forma cuadrática${\displaystyle f}$.

Para formas indefinidas e irreductibles${\displaystyle f(x,y)\in \mathbb {Z} [x,y]}$satisfactorio${\displaystyle f(x,1)\not \equiv x(x+1){\pmod {2}}}$, poner

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{f}=\lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {\operatorname {Área} \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0<f(x,y^{2})\leq X,0<y<X^{1/4}}{X^{3/4}}}.}$

Entonces se tiene la fórmula asintótica

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}m,\ell \in \mathbb {Z} \\f(m,\ell ^{2})\leq X\\0<\ell \leq X^{3/4}\end{array}}\lambda (f(m,\ell ^{2}))={\frac {\nu _{f}{\mathfrak {S}}_{f}X^{3/4}}{\log X}}\left(1+O\left({\frac {\log \log X}{\log X}}\right)\right).}$

Cuando b = 1 , los primos de Friedlander-Iwaniec tienen la forma${\displaystyle a^{2}+1}$, formando el conjunto

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, … (secuencia A002496 en el OEIS ) .

Se conjetura (uno de los problemas de Landau ) que este conjunto es infinito. Sin embargo, esto no se deduce del teorema de Friedlander-Iwaniec.

• Cipra, Barry Arthur (1998), "Separación de números primos a partir de mineral delgado", Science , 279 (5347): 31, doi : 10.1126/science.279.5347.31 , S2CID 118322959 .