Extensión Friedrichs

En análisis funcional , la extensión de Friedrichs es una extensión autoadjunta canónica de un operador simétrico no negativo y densamente definido . Recibe su nombre del matemático Kurt Friedrichs . Esta extensión resulta particularmente útil en situaciones donde un operador puede no ser esencialmente autoadjunto o cuya autoadjuntividad esencial es difícil de demostrar.

Un operador T es no negativo si

${\displaystyle \langle \xi \mid T\xi \rangle \geq 0,\;\;\forall \;\xi \in \operatorname {dom} \ T}$

Ejemplo . La multiplicación por una función no negativa en un espacio L ² es un operador autoadjunto no negativo.

Ejemplo . Sea U un conjunto abierto en R ⁿ . En L ² ( U ) consideramos operadores diferenciales de la forma

${\displaystyle [T\phi ](x)=-\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}\{a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}\phi (x)\}\quad x\in U,\phi \in \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U),}$

donde las funciones a _{i j} son funciones de valor real infinitamente diferenciables en U. Consideramos T actuando sobre el subespacio denso de funciones de valor complejo infinitamente diferenciables de soporte compacto, en símbolos

${\displaystyle \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).}$

Si para cada x ∈ U la matriz n × n

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

es semidefinida no negativa, entonces T es un operador no negativo. Esto significa (a) que la matriz es hermitiana y

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0}$

para cada elección de números complejos c ₁ , ..., c _n . Esto se demuestra utilizando la integración por partes .

Estos operadores son elípticos , aunque en general los operadores elípticos pueden no ser no negativos. Sin embargo, están acotados inferiormente.

La definición de la extensión de Friedrichs se basa en la teoría de formas positivas cerradas en espacios de Hilbert . Si T es no negativo, entonces

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle }$

es una forma sesquilineal en dom T y

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\xi )=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2}.}$

Así, Q define un producto interno en dom T. Sea H ₁ la completación de dom T con respecto a Q. H ₁ es un espacio definido abstractamente; por ejemplo, sus elementos pueden representarse como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy de elementos de dom T. No es obvio que todos los elementos de H ₁ puedan identificarse con elementos de H. Sin embargo, se puede demostrar lo siguiente:

La inclusión canónica

${\displaystyle \operatorname {dom} T\rightarrow H}$

se extiende a una aplicación continua inyectiva H ₁ → H . Consideramos H ₁ como un subespacio de H .

Defina un operador A mediante

${\displaystyle \operatorname {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatorname {Q} (\xi ,\eta ){\mbox{ es lineal acotada.}}\}}$

En la fórmula anterior, acotado es relativo a la topología en H ₁ heredada de H . Por el teorema de representación de Riesz aplicado al funcional lineal φ _ξ extendido a H , existe un único A ξ ∈ H tal que

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \in H_ {1}}$

Teorema ^{[ 1 ]} . A es un operador autoadjunto no negativo tal que T ₁ = A - I extiende T .

T ₁ se denomina extensión de Friedrichs de T .

Otra forma de obtener esta extensión es la siguiente. Sea  :${\displaystyle L:H_{1}\rightarrow H}$Sea el operador de inclusión acotada. La inclusión es una inyectiva acotada con imagen densa. Por lo tanto,${\displaystyle LL^{*}:H\rightarrow H}$es un operador inyectivo acotado con imagen densa, donde${\displaystyle L^{*}}$es el adjunto de ${\displaystyle L}$como operador entre espacios de Hilbert abstractos. Por lo tanto, el operador${\displaystyle A:=(LL^{*})^{-1}}$es un operador autoadjunto no negativo cuyo dominio es la imagen de${\displaystyle LL^{*}}$. Entonces${\displaystyle IA}$extiende T.

MG Krein ha dado una caracterización elegante de todas las extensiones autoadjuntas no negativas de un operador simétrico no negativo T.

Si T y S son operadores autoadjuntos no negativos, escriba

${\displaystyle T\leq S}$

si, y solo si,

• ${\displaystyle \operatorname {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatorname {dom} (T^{1/2})}$
• ${\displaystyle \langle T^{1/2}\xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname {dom} (S^{1/2})}$

Teorema ^{[ 2 ]} . Existen extensiones autoadjuntas únicas T _min y T _max de cualquier operador simétrico no negativo T tales que toda extensión autoadjunta no negativa S de T está entre T _min y T _max , es decir

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq S\leq T_{\mathrm {max} }.}$

${\displaystyle T_{\mathrm {max} }}$es la extensión Friedrichs, mientras que${\displaystyle T_{\mathrm {min} }}$se denomina extensión Krein .

• Extensión energética
• Extensiones de operadores simétricos

• NI Akhiezer e IM Glazman, Teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert , Pitman, 1981.

• Reed, M.; Simon , B. (1972), Métodos de física matemática: Vol. 2: Análisis de Fourier, autoadjuntividad , Academic Press. Sección X.3: Positividad y autoadjuntividad: formas cuadráticas.

• Alonso, Ana; Simon, Barry (1980), "La teoría de Birman-Krein-Vishik de extensiones autoadjuntas de operadores semiacotados", Journal of Operator Theory , 4 (2): 251–270