Operador de transferencia

En matemáticas , el operador de transferencia codifica información sobre una función iterada y se utiliza frecuentemente para estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos , mecánica estadística , caos cuántico y fractales . En todos los casos habituales, el mayor valor propio es 1, y el vector propio correspondiente es la medida invariante del sistema.

El operador de transferencia a veces se denomina operador de Ruelle , en honor a David Ruelle , u operador de Perron-Frobenius u operador de Ruelle - Perron - Frobenius , en referencia a la aplicabilidad del teorema de Perron-Frobenius a la determinación de los valores propios del operador.

La función iterada que se va a estudiar es un mapa.${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$para un conjunto arbitrario${\displaystyle X}$.

El operador de transferencia se define como un operador${\displaystyle {\mathcal {L}}}$actuando sobre el espacio de funciones${\displaystyle \{\Phi \colon X\rightarrow \mathbb {C} \}}$como

${\displaystyle ({\mathcal {L}}\Phi )(x)=\sum _{y\,\in \,f^{-1}(x)}g(y)\Phi (y)}$

dónde${\displaystyle g\colon X\rightarrow \mathbb {C} }$es una función de valoración auxiliar. Cuando${\displaystyle f}$tiene un determinante jacobiano${\displaystyle |J|}$, entonces${\displaystyle g}$se suele tomar por${\displaystyle g=1/|J|}$.

Se puede demostrar que la definición anterior del operador de transferencia es el límite de conjunto de puntos de la propagación hacia adelante de g en la teoría de la medida : en esencia, el operador de transferencia es el functor de imagen directa en la categoría de espacios medibles . El adjunto izquierdo del operador de Perron - Frobenius es el operador de Koopman u operador de composición . El marco general lo proporciona el cálculo funcional de Borel .

Por regla general, el operador de transferencia suele interpretarse como un operador de desplazamiento (a la izquierda) que actúa sobre un espacio de desplazamiento . Los desplazamientos más estudiados son los subdesplazamientos de tipo finito . El adjunto del operador de transferencia también suele interpretarse como un desplazamiento a la derecha. Entre los desplazamientos a la derecha más estudiados se encuentran el operador de Jacobi y la matriz de Hessenberg , los cuales generan sistemas de polinomios ortogonales mediante un desplazamiento a la derecha.

Mientras que la iteración de una función${\displaystyle f}$Esto conduce naturalmente al estudio de las órbitas de los puntos de X bajo iteración (el estudio de la dinámica de puntos ); el operador de transferencia define cómo evolucionan los mapas (suaves) bajo iteración. Por lo tanto, los operadores de transferencia suelen aparecer en problemas de física , como el caos cuántico y la mecánica estadística , donde la atención se centra en la evolución temporal de funciones suaves. A su vez, esto tiene aplicaciones médicas en el diseño racional de fármacos , a través del campo de la dinámica molecular .

Con frecuencia, el operador de transferencia es positivo y tiene autovalores reales positivos discretos , cuyo autovalor mayor es igual a uno. Por esta razón, a veces se le denomina operador de Frobenius - Perron.

Las autofunciones del operador de transferencia suelen ser fractales. Cuando el logaritmo del operador de transferencia corresponde a un hamiltoniano cuántico , los autovalores suelen estar muy próximos entre sí, por lo que incluso un conjunto muy reducido y cuidadosamente seleccionado de estados cuánticos abarcará un gran número de autoestados fractales muy diferentes con soporte distinto de cero en todo el volumen. Esto puede utilizarse para explicar muchos resultados de la mecánica estadística clásica, incluyendo la irreversibilidad del tiempo y el aumento de la entropía .

El operador de transferencia del mapa de Bernoulli${\displaystyle b(x)=2x-\lfloor 2x\rfloor }$es exactamente soluble y es un ejemplo clásico de caos determinista ; los autovalores discretos corresponden a los polinomios de Bernoulli . Este operador también tiene un espectro continuo que consiste en la función zeta de Hurwitz .

El operador de transferencia del mapa de Gauss${\displaystyle h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor }$Se denomina operador de Gauss - Kuzmin - Wirsing (GKW) . La teoría del GKW se remonta a una hipótesis de Gauss sobre fracciones continuas y está estrechamente relacionada con la función zeta de Riemann .

• Esquema de Bernoulli
• Cambio de tipo finito
• Teorema de Krein-Rutman
• Método de matriz de transferencia

• Gaspard, Pierre (1992). "Mapas unidimensionales r-ádicos y la fórmula de sumación de Euler". J. Phys. A: Math. Gen. 25 ( 8): L483– L485. Bibcode : 1992JPhA...25L.483G . doi : 10.1088/0305-4470/25/8/017 .
• Gaspard, Pierre (1998). Caos, dispersión y mecánica estadística . Cambridge University Press . ISBN 0-521-39511-9.
• Mackey, Michael C. (1992). La flecha del tiempo  : Los orígenes del comportamiento termodinámico . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94093-6.
• Mayer, Dieter H. (1978). El operador de transferencia de Ruelle-Araki en mecánica estadística clásica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-09990-5.
• Ruelle, David (1978). Formalismo termodinámico: las estructuras matemáticas de la mecánica estadística del equilibrio clásico . Addison - Wesley, Reading. ISBN 0-201-13504-3.
• Ruelle, David (2002). "Funciones zeta dinámicas y operadores de transferencia" (PDF) . Notices of the AMS . 49 (8): 887– 895.(Ofrece una encuesta introductoria).