Fórmula de Frobenius

En matemáticas, específicamente en la teoría de representaciones , la fórmula de Frobenius , introducida por G. Frobenius , calcula los caracteres de las representaciones irreducibles del grupo simétrico S _n . Entre otras aplicaciones, la fórmula se puede utilizar para derivar la fórmula de la longitud del gancho .

Dejar${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ser el carácter de una representación irreducible del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$correspondiente a una partición${\displaystyle \lambda }$de n :${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$y${\displaystyle \ell _{j}=\lambda _{j}+kj}$. Para cada partición${\displaystyle \mu }$de n , sea${\displaystyle C(\mu )}$denota la clase de conjugación en${\displaystyle S_{n}}$correspondiente a ello (véase el ejemplo siguiente), y deje${\displaystyle i_{j}}$denota el número de veces que j aparece en${\displaystyle \mu }$(entonces${\displaystyle \sum _{j}i_{j}j=n}$). Entonces la fórmula de Frobenius establece que el valor constante de${\displaystyle \chi _{\lambda }}$en${\displaystyle C(\mu ),}$

${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu )),}$

es el coeficiente del monomio${\displaystyle x_{1}^{\ell _{1}}\dots x_{k}^{\ell _{k}}}$en el polinomio homogéneo en${\displaystyle k}$variables

${\displaystyle \prod _{i<j}^{k}(x_{i}-x_{j})\;\prod _{j}P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})^{i_{j}},}$

dónde${\displaystyle P_{j}(x_{1},\dots ,x_{k})=x_{1}^{j}+\dots +x_{k}^{j}}$es el${\displaystyle j}$-suma de potencia .

Ejemplo : Tomar${\displaystyle n=4}$. Dejar${\displaystyle \lambda :4=2+2=\lambda _{1}+\lambda _{2}}$y por lo tanto${\displaystyle k=2}$,${\displaystyle \ell _{1}=3}$,${\displaystyle \ell _{2}=2}$. Si${\displaystyle \mu :4=1+1+1+1}$(${\displaystyle i_{1}=4}$), que corresponde a la clase del elemento identidad, entonces${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$es el coeficiente de${\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{2}}$en

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})^{4}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})^{4}}$

que es 2. De manera similar, si${\displaystyle \mu :4=3+1}$(la clase de un ciclo de 3 veces un ciclo de 1) y${\displaystyle i_{1}=i_{3}=1}$, entonces${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$, dado por

${\displaystyle (x_{1}-x_{2})P_{1}(x_{1},x_{2})P_{3}(x_{1},x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}),}$

es  −1.

Para la representación de la identidad,${\displaystyle k=1}$y${\displaystyle \lambda _{1}=n=\ell _{1}}$El personaje${\displaystyle \chi _{\lambda }(C(\mu ))}$será igual al coeficiente de${\displaystyle x_{1}^{n}}$en${\displaystyle \prod _{j}P_{j}(x_{1})^{i_{j}}=\prod _{j}x_{1}^{i_{j}j}=x_{1}^{\sum _{j}i_{j}j}=x_{1}^{n}}$, que es 1 para cualquier${\displaystyle \mu }$Como era de esperar.

Arun Ram proporciona un análogo q de la fórmula de Frobenius. ^{[ 1 ]}

• Teoría de la representación de grupos simétricos

• Ram, Arun (1991). "Una fórmula de Frobenius para los caracteres de las álgebras de Hecke". Inventiones Mathematicae . 106 (1): 461– 488. Bibcode : 1991InMat.106..461R . doi : 10.1007/BF01243921 .
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  
• Macdonald, IG. Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edición. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x+475 pp. ISBN  0-19-853489-2MR 1354144