Teorema del determinante de Frobenius

En matemáticas , el teorema del determinante de Frobenius establece que si se toma la tabla de multiplicar de un grupo finito G y se reemplaza cada entrada g con una variable x ∈ _g , y posteriormente se calcula el determinante , entonces el polinomio multivariable resultante se factoriza como un producto de n polinomios irreducibles, donde n es el número de clases de conjugación de G. Además, en la factorización, cada uno de estos irreducibles aparece elevado a una potencia igual a su grado.

Esto se planteó por primera vez como una conjetura en una carta de 1896 del matemático Richard Dedekind a F. G. Frobenius , quien la demostró mediante métodos que dieron origen a una nueva rama de las matemáticas, la teoría de la representación de grupos finitos . ^{[ 1 ]} Véase ( Dedekind 1968 ) , con traducción al inglés ( Curtis 2003 , p. 51) . 

Sea un grupo finito${\displaystyle G}$tienen elementos${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$y dejar${\displaystyle x_{g_{i}}}$estar asociado con cada elemento de${\displaystyle G}$. Definir la matriz${\displaystyle X_{G}}$con entradas${\displaystyle a_{ij}=x_{g_{i}g_{j}}}$. Entonces:

${\displaystyle \det X_{G}=\prod _{j=1}^{r}P_{j}(x_{g_{1}},x_{g_{2}},\dots ,x_{g_{n}})^{\deg P_{j}}}$

donde el${\displaystyle P_{j}}$Los son polinomios irreducibles no proporcionales por pares y${\displaystyle r}$es el número de clases de conjugación ^de G. ^{[ 2} ] 

Si${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{e,g\}}$con${\displaystyle g^{2}=e}$Con n = 2 clases de conjugación, la matriz sería:

${\displaystyle X_{G}={\begin{bmatrix}x_{e}&x_{g}\\x_{g}&x_{e}\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz tiene n = 2 factores irreducibles de grado 1, cada uno con multiplicidad 1:

${\displaystyle \det X_{G}=(x_{e}-x_{g})(x_{e}+x_{g}).}$

Si${\displaystyle G=S_{3}}$, el grupo simétrico de orden 3, la matriz sería:

${\displaystyle X_{G}={\begin{bmatrix}x_{e}&x_{(12)}&x_{(23)}&x_{(31)}&x_{(123)}&x_{(321)}\\x_{(12)}&x_{e}&x_{(321)}&x_{(123)}&x_{(31)}&x_{(23)}\\x_{(23)}&x_{(123)}&x_{e}&x_{(321)}&x_{(12)}&x_{(31)}\\x_{(31)}&x_{(321)}&x_{(123)}&x_{e}&x_{(23)}&x_{(12)}\\x_{(123)}&x_{(23)}&x_{(31)}&x_{(12)}&x_{(321)}&x_{e}\\x_{(321)}&x_{(31)}&x_{(12)}&x_{(23)}&x_{e}&x_{(123)}\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz se factoriza como:

${\displaystyle \textstyle \det X_{G}=\left(\sum _{\sigma \in S_{3}}x_{\sigma }\right)\left(\sum _{\sigma \in S_{3}}{\text{sign}}(\sigma )x_{\sigma }\right)\left(F(x_{e},x_{(123)},x_{(321)})-F(x_{(12)},x_{(23)},x_{(31)})\right)^{2}}$

dónde${\displaystyle F(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$. El número de factores polinomiales irreducibles es tres, que es igual al número de clases de conjugación de${\displaystyle S_{3}}$. El factor polinómico de grado 2 tiene multiplicidad 2. ^{[ 3 ]}

Esta demostración se basa en la presentada por Evan Chen, que involucra la teoría de la representación . ^{[ 3 ]} Se basa en el siguiente lema:

Dejar${\displaystyle V=(V,\rho )=\mathbb {C} [G]}$ser la representación regular del grupo${\displaystyle G}$Consideremos la aplicación lineal:

${\displaystyle T=\sum _{g\in G}x_{g}\rho (g)}$,

cuya matriz viene dada por${\displaystyle X_{G}}$Deseamos examinar${\displaystyle \det T}$.

Según el teorema de Maschke ,${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$es un álgebra semisimple , por lo que es posible descomponerla${\displaystyle V}$en una suma directa de representaciones irreducibles ,

${\displaystyle V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus \dim V_{i}}}$

donde cada${\displaystyle V_{i}}$es una representación irreducible de${\displaystyle V}$Esto nos permite escribir:

${\displaystyle \det T=\prod _{i=1}^{r}\left(\det(T|_{V_{i}})\right)^{\dim V_{i}},}$

donde cada${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$es un factor polinómico de${\displaystyle \det T}$.

Un resultado de la teoría de caracteres establece que el número de irreps no isomorfos de representación regular${\displaystyle V}$es igual al número de clases de conjugación de${\displaystyle G}$Esto explica por qué el número de factores polinómicos es igual al número de clases de conjugación.

Además,${\displaystyle \dim V_{i}}$es tanto el grado como la multiplicidad del polinomio${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$, lo que explica por qué el grado y la multiplicidad de cada factor polinómico son iguales.

Para completar la demostración, deseamos mostrar que los polinomios${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$son irreductibles y no proporcionales entre sí.

Prueba de irreducibilidad : Por el teorema de densidad de Jacobson , para cualquier matriz${\displaystyle M\in {\text{Mat}}(V_{i})}$, existe una elección particular de números complejos para cada uno${\displaystyle x_{g}\in G}$de tal manera que:

${\displaystyle M=\sum _{g\in G}x_{g}\rho _{i}(g)=T|_{V_{i}}(\{x_{g}\})}$

Esto demuestra que${\displaystyle T|_{V_{i}}}$Cuando se considera como una matriz con entradas polinómicas, debe tener entradas linealmente independientes. Por lo tanto, al hacer que cada una de estas entradas sea una variable independiente${\displaystyle y_{ij}}$, se deduce del lema anterior que${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$es un polinomio irreducible.

Prueba de no proporcionalidad : Esto se deduce al observar que podemos leer el carácter${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$a partir de los coeficientes de${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$, utilizando el hecho de que para todos${\displaystyle g\in G}$, el coeficiente de${\displaystyle x_{g}x_{1_{G}}^{k-1}}$en${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$es igual a${\displaystyle \chi _{V_{i}}(g)}$Dado que los caracteres son linealmente independientes entre sí, se deduce que${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$no es proporcional a ningún otro factor polinómico.

• Chen, Evan. "Una servilleta infinitamente grande" (PDF) . Consultado el 3 de septiembre de 2025 .
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneros de la teoría de la representación: Frobenius, Burnside, Schur y Brauer , Historia de las matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/S0273-0979-00-00867-3 , ISBN 978-0-8218-2677-5, MR 1715145 Revisar
• Dedekind, Richard (1968) [1931], Fricke, Robert; Noether, Emmy ; Ore, öystein (eds.), Gesammelte mathematische Werke. Bände I–III , Nueva York: Chelsea Publishing Co., JFM 56.0024.05 , SEÑOR 0237282  
• Etingof, Pavel (2005). "Lectures on Representation Theory" (PDF) .
• Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (ed.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-04120-7, MR 0235974