Teoría fucsia

La teoría fuchsiana de ecuaciones diferenciales lineales , que lleva el nombre de Lazarus Immanuel Fuchs , proporciona una caracterización de varios tipos de singularidades y las relaciones entre ellas.

En cualquier punto ordinario de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden existe un sistema fundamental de soluciones en serie de potencias linealmente independientes. Un punto no ordinario se denomina singularidad. En una singularidad, el número máximo de soluciones en serie de potencias linealmente independientes puede ser menor que el orden de la ecuación diferencial. ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$

La serie generalizada en se define por ${\displaystyle \xi \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle (z-\xi )^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-\xi )^{k},{\text{ con }}\alpha ,c_{k}\in \mathbb {C} {\text{ y }}c_{0}\neq 0,}$

que se conoce como serie de Frobenius , debido a la conexión con el método de la serie de Frobenius . Las soluciones de la serie de Frobenius son soluciones formales de ecuaciones diferenciales. La derivada formal de , con , se define de manera que . Sea una serie de Frobenius relativa a , entonces ${\displaystyle z^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha \en \mathbb {C} }$${\displaystyle (z^{\alpha })'=\alpha z^{\alpha -1}}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización \xi}$

${\displaystyle {d^{n}f \over dz^{n}}=(z-\xi )^{\alpha -n}\sum _{k=0}^{\infty }(\alpha +k)^{\underline {n}}c_{k}(z-\xi )^{k},}$

donde denota la notación factorial descendente. ^[1]${\textstyle \alpha ^{\underline {n}}:=\prod _{i=0}^{n-1}(\alpha -i)=\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}$

Sea una serie de Frobenius relativa a . Sea un operador diferencial lineal de orden con funciones de coeficientes univalentes . Sean todos los coeficientes expandibles como series de Laurent con parte de principio finito en . Entonces existe un mínimo tal que es una serie de potencias para todo . Por lo tanto, es una serie de Frobenius de la forma , con una cierta serie de potencias en . El polinomio indicial se define por que es un polinomio en , es decir, es igual al coeficiente de con el grado más bajo en . Para cada solución de serie de Frobenius formal de , debe ser una raíz del polinomio indicial en , es decir, necesita resolver la ecuación indicial . ^[1]${\textstyle f:=(z-\xi )^{\alpha }\sum _ {k=0}^{\infty }c_{k}(z-\xi )^{k}}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {C} }$${\displaystyle Lf=f^{(n)}+q_{1}f^{(n-1)}+\cdots +q_{n}f}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle q_{1},\puntos ,q_{n}}$${\displaystyle q_{1},\puntos ,q_{n}}$${\estilo de visualización \xi}$${\displaystyle N\in \mathbb {N}}$${\displaystyle (z-\xi )^{N}q_{i}}$${\displaystyle i\en \{1,\puntos ,n\}}$${\estilo de visualización Lf}$${\displaystyle Lf=(z-\xi )^{\alpha -n-N}\psi (z)}$${\displaystyle \psi (z)}$${\displaystyle (z-\xi )}$${\displaystyle P_{\xi }:=\psi (0)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P_{\xi }}$${\displaystyle Lf}$${\displaystyle (z-\xi )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Lf=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P_{\xi }(\alpha )=0}$

Si es un punto ordinario, la ecuación indicial resultante está dada por . Si es una singularidad regular , entonces y si es una singularidad irregular , se cumple. ^[2] Esto se ilustra con los ejemplos posteriores. La ecuación indicial relativa a está definida por la ecuación indicial de , donde denota el operador diferencial transformado por que es un operador diferencial lineal en , en . ^[3]${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \alpha ^{\underline {n}}=0}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \deg(P_{\xi }(\alpha ))=n}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \deg(P_{\xi }(\alpha ))<n}$${\displaystyle \xi =\infty }$${\displaystyle {\widetilde {L}}f}$${\displaystyle {\widetilde {L}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle z=x^{-1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=0}$

El operador diferencial de orden , , tiene una singularidad regular en . Considérese una solución de serie de Frobenius relativa a , con . ${\displaystyle 2}$${\displaystyle Lf:=f''+{\frac {1}{z}}f'+{\frac {1}{z^{2}}}f}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f:=z^{\alpha }(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots )}$${\displaystyle c_{0}\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Lf&=z^{\alpha -2}(\alpha (\alpha -1)c_{0}+\cdots )+{\frac {1}{z}}z^{\alpha -1}(\alpha c_{0}+\cdots )+{\frac {1}{z^{2}}}z^{\alpha }(c_{0}+\cdots )\\[5pt]&=z^{\alpha -2}c_{0}(\alpha (\alpha -1)+\alpha +1)+\cdots .\end{aligned}}}$

Esto implica que el grado del polinomio indicial relativo a es igual al orden de la ecuación diferencial, . ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \deg(P_{0}(\alpha ))=\deg(\alpha ^{2}+1)=2}$

El operador diferencial de orden , , tiene una singularidad irregular en . Sea una solución en serie de Frobenius relativa a . ${\displaystyle 2}$${\displaystyle Lf:=f''+{\frac {1}{z^{2}}}f'+f}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Lf&=z^{\alpha -2}(\alpha (\alpha -1)c_{0}+\cdots )+{\frac {1}{z^{2}}}z^{\alpha -1}(\alpha c_{0}+\cdots )+z^{\alpha }(c_{0}+\cdots )\\[5pt]&=z^{\alpha -3}c_{0}\alpha +z^{\alpha -2}(c_{0}\alpha (\alpha -1)+c_{1})+\cdots .\end{aligned}}}$

Ciertamente, al menos un coeficiente de las derivadas inferiores empuja hacia abajo el exponente de . Inevitablemente, el coeficiente de una derivada inferior es el de menor exponente. El grado del polinomio indicial relativo a es menor que el orden de la ecuación diferencial, . ${\displaystyle z}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \deg(P_{0}(\alpha ))=\deg(\alpha )=1<2}$

Hemos dado una ecuación diferencial lineal homogénea de orden con coeficientes que son expandibles como series de Laurent con parte de principio finito. El objetivo es obtener un conjunto fundamental de soluciones formales de la serie de Frobenius relativas a cualquier punto . Esto se puede hacer mediante el método de la serie de Frobenius , que dice: Los exponentes iniciales están dados por las soluciones de la ecuación indicial y los coeficientes describen una recursión polinómica. Wlog, supongamos . ${\displaystyle Lf=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \xi =0}$

Si es un punto ordinario, un sistema fundamental está formado por las soluciones de la serie de Frobenius formal linealmente independiente , donde denota una serie de potencias formal en con , para . Debido a que los exponentes iniciales son números enteros, las series de Frobenius son series de potencias. ^[1]${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \psi _{1},z\psi _{2},\dots ,z^{n-1}\psi _{n}}$${\textstyle \psi _{i}\in \mathbb {C} [[z]]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \psi (0)\neq 0}$${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$

Si es una singularidad regular, hay que prestar atención a las raíces del polinomio indicial que difieren en números enteros. En este caso, el cálculo recursivo de los coeficientes de la serie de Frobenius se detiene para algunas raíces y el método de la serie de Frobenius no da un espacio de solución -dimensional. Se puede demostrar lo siguiente independientemente de la distancia entre las raíces del polinomio indicial: Sea una raíz -fold del polinomio indicial relativa a . Entonces, la parte del sistema fundamental correspondiente a está dada por las soluciones formales linealmente independientes. ${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{\alpha }\psi _{0}\\&z^{\alpha }\psi _{1}+z^{\alpha }\log(z)\psi _{0}\\&z^{\alpha }\psi _{2}+2z^{\alpha }\log(z)\psi _{1}+z^{\alpha }\log ^{2}(z)\psi _{0}\\&\qquad \vdots \\&z^{\alpha }\psi _{\mu -1}+\cdots +{\binom {\mu -1}{k}}z^{\alpha }\log ^{k}(z)\psi _{\mu -k}+\cdots +z^{\alpha }\log ^{\mu -1}(z)\psi _{0}\end{aligned}}}$

donde denota una serie de potencias formales en con , para . Se obtiene un conjunto fundamental de soluciones formales linealmente independientes, porque el polinomio indicial relativo a una singularidad regular es de grado . ^[4]${\textstyle \psi _{i}\in \mathbb {C} [[z]]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \psi (0)\neq 0}$${\displaystyle i\in \{0,\dots ,\mu -1\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Se puede demostrar que una ecuación diferencial lineal de orden siempre tiene soluciones linealmente independientes de la forma ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \exp(u(z^{-1/s}))\cdot z^{\alpha }(\psi _{0}(z^{1/s})+\cdots +\log ^{k}(z)\psi _{k}(z^{1/s})+\cdots +\log ^{w}(z)\psi _{w}(z^{1/s}))}$

donde y , y la serie de potencias formales . ^[5]${\displaystyle s\in \mathbb {N} \setminus \{0\},u(z)\in \mathbb {C} [z]}$${\displaystyle u(0)=0,\alpha \in \mathbb {C} ,w\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \psi _{0}(z),\dots ,\psi _{w}\in \mathbb {C} [[z]]}$

${\displaystyle 0}$es una singularidad irregular si y solo si existe una solución con . Por lo tanto, una ecuación diferencial es de tipo fuchsiano si y solo si para todo existe un sistema fundamental de soluciones en serie de Frobenius con en . ${\displaystyle u\neq 0}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle \xi }$

• Ince, Edward Lindsay (1956). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York, EE. UU.: Dover Publications. ISBN 9780486158211.
• Poole, Edgar Girard Croker (1936). Introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales lineales . Nueva York: Clarendon Press.
• Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1963). Ecuaciones diferenciales ordinarias. Nueva York, EE. UU.: Dover Publications. pp. Conferencia 40. ISBN 9780486649405.
• Cuerno, Jakob (1905). Gewöhnliche Differentialgleichungen beliebiger Ordnung . Leipzig, Alemania: GJ Göschensche Verlagshandlung.
• Schlesinger, Ludwig Lindsay (1897). Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen (2. Banda, 1. Parte) . Leipzig, Alemania: BGTeubner. págs. 241 y siguientes.
• Lay, Wolfgang (2024). Funciones especiales superiores . Stuttgart, Alemania: Cambridge University Press. pp. 114–156. ISBN 9781009128414.