La conjetura de Fuglede

La conjetura de Fuglede es un problema matemático propuesto por Bent Fuglede en 1974 y resuelto negativamente para la mayoría de las dimensiones por Terence Tao en 2004. Afirma que cada dominio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$(es decir, subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$con medida de Lebesgue finita positiva ) es un conjunto espectral si y solo si tesela${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$por traducción . ^{[ 1 ]}

Conjuntos espectrales en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Un conjunto${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$Se dice que un conjunto con medida de Lebesgue finita positiva es un conjunto espectral si existe un${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$de tal manera que${\displaystyle \left\{e^{2\pi i\left\langle \lambda ,\cdot \right\rangle }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$es una base ortogonal de${\displaystyle L^{2}(\Omega)}$. El conjunto${\displaystyle \Lambda }$Se dice entonces que es un espectro de${\displaystyle \Omega }$y${\displaystyle (\Omega,\Lambda)}$Se denomina par espectral.

Teselas traslacionales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Un conjunto${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$Se dice que se alicata${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$por traducción (es decir${\displaystyle \Omega }$es una tesela traslacional) si existe un conjunto discreto${\displaystyle \mathrm {T} }$de tal manera que${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathrm {T} }(\Omega +t)=\mathbb {R} ^{d}}$y${\displaystyle (\Omega +t)\cap (\Omega +t')}$tiene la medida de Lebesgue cero para todos${\displaystyle t\neq t'}$en${\displaystyle \mathrm {T} }$. ^{[ 2 ]}

• Fuglede demostró en 1974 que la conjetura se cumple si${\displaystyle \Omega }$es un dominio fundamental de una red .
• En 2003, Alex Iosevich, Nets Katz y Terence Tao demostraron que la conjetura se cumple si${\displaystyle \Omega }$es un dominio plano convexo . ^{[ 3 ]}
• En 2004, Terence Tao demostró que la conjetura es falsa.${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$para${\displaystyle d\geq 5}$. ^{[ 4 ]} Más tarde, Bálint Farkas, Mihail N. Kolounzakis, Máté Matolcsi y Péter Móra demostraron que la conjetura también es falsa para${\displaystyle d=3}$y${\displaystyle 4}$. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} Sin embargo, la conjetura sigue siendo desconocida para${\displaystyle d=1,2}$.
• En 2015, Alex Iosevich, Azita Mayeli y Jonathan Pakianathan demostraron que una extensión de la conjetura se cumple en${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$, dónde${\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}$es el grupo cíclico de orden p . ^{[ 9 ]}
• En 2017, Rachel Greenfeld y Nir Lev demostraron la conjetura para politopos convexos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. ^{[ 10 ]}
• En 2019, Nir Lev y Máté Matolcsi resolvieron afirmativamente la conjetura para dominios convexos en todas las dimensiones. ^{[ 11 ]}