Teorema de Fuglede

En matemáticas , el teorema de Fuglede es un resultado de la teoría de operadores , que recibe su nombre de Bent Fuglede .

Teorema (Fuglede) Sean T y N operadores acotados en un espacio de Hilbert complejo con N siendo normal . Si TN = NT , entonces TN* = N*T , donde N * denota el adjunto de N.

La normalidad de N es necesaria, como se ve al tomar T = N. Cuando T es autoadjunto , la afirmación es trivial independientemente de si N es normal o no:

$${\displaystyle TN^{*}=(NT)^{*}=(TN)^{*}=N^{*}T.}$$

Prueba tentativa : Si el espacio de Hilbert subyacente es de dimensión finita , el teorema espectral dice que N es de la forma $${\displaystyle N=\sum \nolimits _{i}\lambda _{i}P_{i}}$$ donde P _i son proyecciones ortogonales por pares. Se espera que TN = NT si y solo si TP _i = P _i T . De hecho, se puede demostrar que es cierto mediante argumentos elementales (por ejemplo, se puede demostrar que todos los P _i son representables como polinomios de N y por esta razón, si T conmuta con N , tiene que conmutar con P _i ...). Por lo tanto, T también debe conmutar con $${\displaystyle N^{*}=\sum \nolimits _{i}{{\bar {\lambda }}_{i}}P_{i}.}$$

En general, cuando el espacio de Hilbert no es de dimensión finita, el operador normal N da lugar a una medida con valores de proyección P sobre su espectro, σ ( N ), que asigna una proyección P _Ω a cada subconjunto de Borel de σ ( N ). N puede expresarse como $${\displaystyle N=\int _{\sigma (N)}\lambda dP(\lambda ).}$$

A diferencia del caso de dimensión finita, no es en absoluto obvio que TN = NT implique TP _Ω = P _Ω T . Por lo tanto, no es tan obvio que T también conmute con cualquier función simple de la forma $${\displaystyle \rho =\sum \nolimits _{i}{\bar {\lambda }}P_{\Omega _{i}}.}$$

De hecho, siguiendo la construcción de la descomposición espectral para un operador T acotado, normal y no autoadjunto, se observa que para verificar que T conmuta con${\ Displaystyle P _ {\ Omega _ {i}}}$La forma más sencilla es suponer que T conmuta con N y N* , ¡dando lugar a un círculo vicioso!

Esa es la relevancia del teorema de Fuglede: la segunda hipótesis no es realmente necesaria.

A continuación se presenta el resultado de Fuglede como un caso particular. La demostración de Rosenblum que se muestra a continuación es precisamente la que presentó Fuglede para su teorema cuando se asume N = M.

Teorema (Calvin Richard Putnam) ^{[ 1 ]} Sean T , M , N operadores lineales en un espacio de Hilbert complejo, y supongamos que M y N son normales , T es acotado y MT = TN . Entonces M * T = TN *.

Primera prueba (Marvin Rosenblum) : Por inducción , la hipótesis implica que M ^k T = TN ^k para todo k . Por lo tanto, para cualquier λ en${\displaystyle \mathbb {C} }$, $${\displaystyle e^{{\bar {\lambda }}M}T=Te^{{\bar {\lambda }}N}.}$$

Consideremos la función $${\displaystyle F(\lambda )=e^{\lambda M^{*}}Te^{-\lambda N^{*}}.}$$ Esto es igual a $${\displaystyle e^{\lambda M^{*}}\left[e^{-{\bar {\lambda }}M}Te^{{\bar {\lambda }}N}\right]e^{-\lambda N^{*}}=U(\lambda )TV(\lambda )^{-1},}$$ dónde${\displaystyle U(\lambda )=e^{\lambda M^{*}-{\bar {\lambda }}M}}$porque${\displaystyle M}$es normal, y de manera similar${\displaystyle V(\lambda )=e^{\lambda N^{*}-{\bar {\lambda }}N}}$Sin embargo, tenemos $${\displaystyle U(\lambda )^{*}=e^{{\bar {\lambda }}M-\lambda M^{*}}=U(\lambda )^{-1}}$$ por lo tanto U es unitario y, por consiguiente, tiene norma 1 para todo λ; lo mismo es cierto para V (λ), por lo que $${\displaystyle \|F(\lambda )\|\leq \|T\|\ \forall \lambda .}$$

Entonces F es una función vectorial analítica acotada, y por lo tanto es constante e igual a F (0) = T . Considerando los términos de primer orden en la expansión para λ pequeño, debemos tener M*T = TN* .

El artículo original de Fuglede apareció en 1950; Putnam lo extendió a la forma que se presenta arriba en 1951. ^{[ 1 ]} La breve demostración que se presenta arriba fue publicada por primera vez por Rosenblum en 1958; es muy elegante, pero menos general que la demostración original, que también consideraba el caso de operadores no acotados. Otra demostración sencilla del teorema de Putnam es la siguiente:

Segunda prueba: Consideremos las matrices

$${\displaystyle T'={\begin{bmatrix}0&0\\T&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad N'={\begin{bmatrix}N&0\\0&M\end{bmatrix}}.}$$

El operador N' es normal y, por hipótesis, T' N' = N' T' . Por el teorema de Fuglede, se tiene $${\displaystyle T'(N')^{*}=(N')^{*}T'.}$$

La comparación de las entradas proporciona entonces el resultado deseado.

A partir de la generalización de Putnam, se puede deducir lo siguiente:

Corolario Si dos operadores normales M y N son similares, entonces son unitariamente equivalentes.

Demostración : Supongamos que MS = SN, donde S es un operador invertible acotado. El resultado de Putnam implica M*S = SN* , es decir, $${\displaystyle S^{-1}M^{*}S=N^{*}.}$$

Tomamos el adjunto de la ecuación anterior y tenemos $${\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=N.}$$

Entonces $${\displaystyle S^{*}M(S^{-1})^{*}=S^{-1}MS\quad \Rightarrow \quad SS^{*}M(SS^{*})^{-1}=M.}$$

Sea S*=VR , con V unitario (ya que S es invertible) y R la raíz cuadrada positiva de SS* . Como R es un límite de polinomios en SS* , lo anterior implica que R conmuta con M. También es invertible. Entonces $${\displaystyle N=S^{*}M(S^{*})^{-1}=VRMR^{-1}V^{*}=VMV^{*}.}$$

Corolario Si M y N son operadores normales, y MN = NM , entonces MN también es normal.

Demostración : El argumento solo invoca el teorema de Fuglede. Se puede calcular directamente. $${\displaystyle (MN)(MN)^{*}=MN(NM)^{*}=MNM^{*}N^{*}.}$$

Por Fuglede, lo anterior se convierte en $${\displaystyle =MM^{*}NN^{*}.}$$

Pero M y N son normales, así que $${\displaystyle =M^{*}MN^{*}N.}$$

Por Fuglede (de nuevo), lo anterior se convierte en $${\displaystyle =M^{*}N^{*}MN=(NM)^{*}MN}$$

y la hipótesis MN = NM muestra que es $${\displaystyle =(MN)^{*}MN.}$$

El teorema puede reformularse como una afirmación sobre elementos de C*-álgebras .

Teorema (Fuglede-Putnam-Rosenblum) Sean x, y dos elementos normales de un álgebra C* A y z tales que xz = zy . Entonces se deduce que x* z = zy* .

Observación

Para obtener más resultados, generalizaciones y aplicaciones del teorema de Fuglede-Putnam, los lectores pueden consultar la monografía de revisión The Fuglede–Putnam Theory de MH Mortad (Springer, 2022).

• Fuglede, Bent. Un teorema de conmutatividad para operadores normales — PNAS
• Berberian, Sterling K. (1974), Lecciones de análisis funcional y teoría de operadores , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  15, Nueva York-Heidelberg-Berlín: Springer-Verlag, pág.  274, ISBN 0-387-90080-2, MR 0417727 .
• Rudin, Walter (1973). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  25 (Primera  ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 9780070542259.
• Mortad, MH (2022), La teoría de Fuglede-Putnam , Lecture Notes in Mathematics, vol.  2322, Cham: Springer, doi : 10.1007/978-3-031-17782-8