Determinante de Fuglede-Kadison

En matemáticas , el determinante de Fuglede−Kadison de un operador invertible en un factor finito es un número real positivo asociado a él. Define un homomorfismo multiplicativo del conjunto de operadores invertibles al conjunto de números reales positivos. El determinante de Fuglede−Kadison de un operador se suele denotar por . ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \Delta (A)}$

Para una matriz en , que es la forma normalizada del valor absoluto del determinante de . ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \Delta (A)=\izquierda|\det(A)\derecha|^{1/n}}$${\estilo de visualización A}$

Sea un factor finito con la traza normalizada canónica y sea un operador invertible en . Entonces el determinante de Fuglede−Kadison de se define como ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\estilo de visualización \tau}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\estilo de visualización X}$

${\displaystyle \Delta(X):=\exp \tau(\log(X^{*}X)^{1/2}),}$

(cf. Relación entre determinante y traza a través de valores propios ). El número está bien definido mediante cálculo funcional continuo . ${\displaystyle \Delta(X)}$

• ${\displaystyle \Delta (XY)=\Delta (X)\Delta (Y)}$para operadores invertibles ,${\displaystyle X,Y\en {\mathcal {M}}}$
• ${\displaystyle \Delta (\exp A)=\izquierda|\exp \tau (A)\derecha|=\exp \Re \tau (A)}$para${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}.}$
• ${\estilo de visualización \Delta}$es norma-continua en , el conjunto de operadores invertibles en$Estilo de visualización GL_{1}({M}})}$${\displaystyle {\mathcal {M}},}$
• ${\displaystyle \Delta(X)}$no excede el radio espectral de .${\estilo de visualización X}$

Existen muchas extensiones posibles del determinante de Fuglede−Kadison a operadores singulares en . Todas ellas deben asignar un valor de 0 a los operadores con espacio nulo no trivial. Ninguna extensión del determinante de los operadores invertibles a todos los operadores en , es continua en la topología uniforme. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

La extensión algebraica de asigna un valor de 0 a un operador singular en . ${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Para un operador en , la extensión analítica de utiliza la descomposición espectral de para definir con el entendimiento de que si . Esta extensión satisface la propiedad de continuidad ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\estilo de visualización \Delta}$${\displaystyle |A|=\int \lambda \;dE_{\lambda }}$${\displaystyle \Delta (A):=\exp \left(\int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })\right)}$${\displaystyle \Delta(A)=0}$${\displaystyle \int \log \lambda \;d\tau (E_{\lambda })=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\Delta (H+\varepsilon I)=\Delta (H)}$para${\displaystyle H\geq 0.}$

Aunque originalmente el determinante de Fuglede−Kadison se definió para operadores en factores finitos, se traslada al caso de operadores en álgebras de von Neumann con un estado trazal ( ) en cuyo caso se denota por . ${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle \Delta _{\tau}(\cdot)}$

• Fuglede, Bent; Kadison, Richard (1952), "Teoría determinante en factores finitos", Ann. Math. , Serie 2, 55 (3): 520–530, doi :10.2307/1969645, JSTOR  1969645.

• de la Harpe, Pierre (2013), "Determinante de Fuglede−Kadison: tema y variaciones", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 110 (40): 15864–15877, doi : 10.1073/pnas.1202059110 , PMC  3791716 , PMID  24082099.