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Cifrado homomórfico

El cifrado homomórfico es una forma de cifrado que permite realizar cálculos sobre datos cifrados sin necesidad de descifrarlos previamente. [ 1 ] Los cálculos resultantes se co...

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El cifrado homomórfico es una forma de cifrado que permite realizar cálculos sobre datos cifrados sin necesidad de descifrarlos previamente. [ 1 ] Los cálculos resultantes se conservan en formato cifrado que, al descifrarse, produce un resultado idéntico al de las operaciones realizadas sobre los datos sin cifrar. El cifrado homomórfico puede utilizarse para el almacenamiento y procesamiento externalizado que preserva la privacidad . Esto permite cifrar los datos y externalizarlos a entornos de nube comerciales para su procesamiento, manteniendo el cifrado.

Como ejemplo de aplicación práctica del cifrado homomórfico: las fotografías cifradas pueden escanearse en busca de puntos de interés sin revelar su contenido. Sin embargo, la observación de canales secundarios permite ver que una fotografía se envía a un servicio de búsqueda de puntos de interés, revelando así que se tomaron fotografías.

Por lo tanto, el cifrado homomórfico elimina la necesidad de procesar datos en texto plano, evitando así ataques que permitirían a un atacante acceder a esos datos mientras se procesan, mediante la escalada de privilegios . [ 2 ]

Para datos sensibles, como la información sanitaria, el cifrado homomórfico puede utilizarse para habilitar nuevos servicios eliminando las barreras de privacidad que impiden el intercambio de datos o aumentando la seguridad de los servicios existentes. Por ejemplo, la aplicación de análisis predictivos en el sector sanitario a través de un proveedor de servicios externo puede resultar compleja debido a las preocupaciones sobre la privacidad de los datos médicos . Sin embargo, si el proveedor de servicios de análisis predictivo pudiera operar con datos cifrados, sin necesidad de las claves de descifrado, estas preocupaciones sobre la privacidad se reducen. Además, incluso si el sistema del proveedor de servicios se viera comprometido, los datos permanecerían seguros. [ 3 ]

Características

El cifrado homomórfico es una forma de cifrado con capacidad de evaluación adicional para realizar cálculos sobre datos cifrados sin acceso a la clave secreta . El resultado de dicho cálculo permanece cifrado. El cifrado homomórfico puede considerarse una extensión de la criptografía de clave pública , ya que los textos cifrados pueden manipularse algebraicamente para producir un resultado cifrado que corresponda a operaciones sobre los textos planos subyacentes. [ 4 ] El término homomórfico se refiere al homomorfismo en álgebra: las funciones de cifrado y descifrado pueden entenderse como homomorfismos entre espacios de texto plano y texto cifrado.

El cifrado homomórfico incluye varios tipos de esquemas de cifrado que pueden realizar diferentes clases de cálculos sobre datos cifrados. [ 5 ] Los cálculos se representan como circuitos booleanos o aritméticos. Algunos tipos comunes de cifrado homomórfico son el cifrado parcialmente homomórfico, el cifrado parcialmente homomórfico, el cifrado totalmente homomórfico por niveles y el cifrado totalmente homomórfico:

  • El cifrado parcialmente homomórfico abarca esquemas que admiten la evaluación de circuitos que constan de un solo tipo de puerta, por ejemplo, suma o multiplicación.
  • Los esquemas de cifrado parcialmente homomórficos pueden evaluar dos tipos de puertas lógicas, pero solo para un subconjunto de circuitos.
  • El cifrado homomórfico por niveles admite la evaluación de circuitos arbitrarios compuestos por múltiples tipos de puertas de profundidad limitada (predeterminada).
  • El cifrado totalmente homomórfico (FHE, por sus siglas en inglés) permite la evaluación de circuitos arbitrarios compuestos por múltiples tipos de puertas de profundidad ilimitada y es la noción más fuerte de cifrado homomórfico.

En la mayoría de los esquemas de cifrado homomórfico, la profundidad multiplicativa de los circuitos constituye la principal limitación práctica para realizar cálculos sobre datos cifrados. Los esquemas de cifrado homomórfico son inherentemente maleables . En términos de maleabilidad, presentan propiedades de seguridad más débiles que los esquemas no homomórficos.

Un criptosistema que admite cálculos arbitrarios sobre textos cifrados se conoce como cifrado totalmente homomórfico (FHE). Este esquema permite la construcción de programas para cualquier funcionalidad deseada, los cuales pueden ejecutarse sobre entradas cifradas para producir un cifrado del resultado. Dado que dicho programa nunca necesita descifrar sus entradas, puede ser ejecutado por una parte no confiable sin revelar sus entradas ni su estado interno. Los criptosistemas totalmente homomórficos tienen importantes implicaciones prácticas en la externalización de cálculos privados, por ejemplo, en el contexto de la computación en la nube . [ 6 ]

Historia

Se han desarrollado esquemas de cifrado homomórfico utilizando diferentes enfoques. En concreto, los esquemas de cifrado totalmente homomórficos suelen agruparse en generaciones que corresponden al enfoque subyacente. [ 7 ]

Antecesores

El problema de construir un esquema de cifrado totalmente homomórfico se planteó por primera vez en 1978, un año después de la publicación del esquema RSA. [ 8 ] Durante más de 30 años, no estuvo claro si existía una solución. Durante ese período, los resultados parciales incluyeron los siguientes esquemas:

Primera generación

Craig Gentry , utilizando criptografía basada en retículos , describió en 2009 la primera construcción plausible para un esquema de cifrado totalmente homomórfico. [ 12 ] El esquema de Gentry admite operaciones de suma y multiplicación sobre textos cifrados, a partir de las cuales es posible construir circuitos para realizar cálculos arbitrarios. La construcción parte de un esquema de cifrado parcialmente homomórfico , que se limita a evaluar polinomios de bajo grado sobre datos cifrados; esta limitación se debe a que cada texto cifrado es ruidoso en cierto sentido, y este ruido aumenta a medida que se suman y multiplican los textos cifrados, hasta que finalmente el ruido hace que el texto cifrado resultante sea indescifrable.

Gentry muestra entonces cómo modificar ligeramente este esquema para hacerlo autoarrancable , es decir, capaz de evaluar su propio circuito de descifrado y, posteriormente, al menos una operación más. Finalmente, demuestra que cualquier esquema de cifrado homomórfico autoarrancable puede convertirse en un cifrado totalmente homomórfico mediante una autoincrustación recursiva. En el esquema "ruidoso" de Gentry, el procedimiento de autoarranque "actualiza" el texto cifrado aplicándole el procedimiento de descifrado de forma homomórfica, obteniendo así un nuevo texto cifrado que cifra el mismo valor que antes, pero con menor ruido. Al "actualizar" el texto cifrado periódicamente cuando el ruido aumenta demasiado, es posible calcular un número arbitrario de sumas y multiplicaciones sin incrementar excesivamente el ruido.

Gentry basó la seguridad de su esquema en la supuesta dificultad de dos problemas: ciertos problemas de peor caso sobre retículos ideales y el problema de la suma de subconjuntos dispersos (o de bajo peso) . La tesis doctoral de Gentry [ 13 ] proporciona detalles adicionales. La implementación de Gentry-Halevi del criptosistema original de Gentry reportó un tiempo de ejecución de aproximadamente 30 minutos por operación de bit básico. [ 14 ] El extenso trabajo de diseño e implementación en años posteriores ha mejorado estas primeras implementaciones en varios órdenes de magnitud en cuanto al rendimiento en tiempo de ejecución.

En 2010, Marten van Dijk, Craig Gentry , Shai Halevi y Vinod Vaikuntanathan presentaron un segundo esquema de cifrado totalmente homomórfico, [ 15 ] que utiliza muchas de las herramientas de la construcción de Gentry, pero que no requiere retículos ideales . En cambio, muestran que el componente parcialmente homomórfico del esquema basado en retículos ideales de Gentry puede reemplazarse por un esquema parcialmente homomórfico muy simple que utiliza números enteros. Por lo tanto, el esquema es conceptualmente más simple que el esquema de retículos ideales de Gentry, pero tiene propiedades similares con respecto a las operaciones homomórficas y la eficiencia. El componente parcialmente homomórfico en el trabajo de Van Dijk et al. es similar a un esquema de cifrado propuesto por Levieil y Naccache en 2008, [ 16 ] y también a uno propuesto por Bram Cohen en 1998. [ 17 ]

Sin embargo, el método de Cohen ni siquiera es homomórfico aditivo. El esquema de Levieil-Naccache solo admite sumas, pero puede modificarse para admitir también un pequeño número de multiplicaciones. Se propusieron muchos refinamientos y optimizaciones del esquema de Van Dijk et al. en una serie de trabajos de Jean-Sébastien Coron, Tancrède Lepoint, Avradip Mandal, David Naccache y Mehdi Tibouchi. [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] Algunos de estos trabajos también incluyeron implementaciones de los esquemas resultantes.

Segunda generación

Los criptosistemas homomórficos de esta generación se derivan de técnicas desarrolladas entre 2011 y 2012 por Zvika Brakerski , Craig Gentry , Vinod Vaikuntanathan y otros. Estas innovaciones condujeron al desarrollo de criptosistemas homomórficos parcial y totalmente homomórficos mucho más eficientes. Entre ellos se incluyen:

  • El esquema Brakerski-Gentry-Vaikuntanathan (BGV, 2011), [ 22 ] basado en técnicas de Brakerski-Vaikuntanathan; [ 23 ]
  • El esquema basado en NTRU de Lopez-Alt, Tromer y Vaikuntanathan (LTV, 2012); [ 24 ]
  • El esquema Brakerski/Fan-Vercauteren (BFV, 2012), [ 25 ] basado en el criptosistema invariante de escala de Brakerski ; [ 26 ]
  • El esquema basado en NTRU de Bos, Lauter, Loftus y Naehrig (BLLN, 2013), [ 27 ] construido sobre LTV y el criptosistema invariante de escala de Brakerski; [ 26 ]

La seguridad de la mayoría de estos esquemas se basa en la dificultad del problema de aprendizaje con errores (RLWE), excepto los esquemas LTV y BLLN que se basan en una variante sobreextendida [ 28 ] del problema computacional NTRU . Posteriormente se demostró que esta variante NTRU era vulnerable a ataques de retículos de subcampos, [ 29 ] [ 28 ] razón por la cual estos dos esquemas ya no se utilizan en la práctica.

Todos los criptosistemas de segunda generación siguen el diseño básico de la construcción original de Gentry, es decir, primero construyen un criptosistema parcialmente homomórfico y luego lo convierten en un criptosistema totalmente homomórfico mediante el método de arranque (bootstrapping).

Una característica distintiva de los criptosistemas de segunda generación es que todos presentan un crecimiento mucho más lento del ruido durante los cálculos homomórficos. Las optimizaciones adicionales realizadas por Craig Gentry , Shai Halevi y Nigel Smart dieron como resultado criptosistemas con una complejidad asintótica casi óptima: RealizandoT{\displaystyle T}operaciones sobre datos cifrados con parámetro de seguridadk{\displaystyle k}tiene complejidad de soloT⋅pagolylogramo(k){\displaystyle T\cdot \mathrm {polilog} (k)}. [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] Estas optimizaciones se basan en las técnicas Smart-Vercauteren que permiten empaquetar muchos valores de texto plano en un único texto cifrado y operar sobre todos estos valores de texto plano de forma SIMD . [ 33 ] Muchos de los avances en estos criptosistemas de segunda generación también se portaron al criptosistema sobre los enteros. [ 20 ] [ 21 ]

Otra característica distintiva de los esquemas de segunda generación es que son lo suficientemente eficientes para muchas aplicaciones incluso sin recurrir al arranque, operando en cambio en el modo FHE por niveles.

Tercera generación

En 2013, Craig Gentry , Amit Sahai y Brent Waters (GSW) propusieron una nueva técnica para construir esquemas FHE que evita un costoso paso de "relinealización" en la multiplicación homomórfica. [ 34 ] Zvika Brakerski y Vinod Vaikuntanathan observaron que para ciertos tipos de circuitos, el criptosistema GSW presenta una tasa de crecimiento de ruido aún más lenta y, por lo tanto, una mayor eficiencia y una seguridad más robusta. [ 35 ] Jacob Alperin-Sheriff y Chris Peikert describieron entonces una técnica de arranque muy eficiente basada en esta observación. [ 36 ]

Estas técnicas se perfeccionaron aún más para desarrollar variantes de anillo eficientes del criptosistema GSW: FHEW (2014) [ 37 ] y TFHE (2016). [ 38 ] El esquema FHEW fue el primero en demostrar que, al actualizar los textos cifrados después de cada operación, es posible reducir el tiempo de arranque a una fracción de segundo. FHEW introdujo un nuevo método para calcular puertas booleanas en datos cifrados que simplifica enormemente el arranque e implementó una variante del procedimiento de arranque. [ 36 ] La eficiencia de FHEW se mejoró aún más con el esquema TFHE, que implementa una variante de anillo del procedimiento de arranque [ 39 ] utilizando un método similar al de FHEW.

Cuarta generación

En 2016, Jung Hee Cheon , Andrey Kim, Miran Kim y Yongsoo Song (CKKS) [ 40 ] propusieron un esquema de cifrado homomórfico aproximado que admite un tipo especial de aritmética de punto fijo , comúnmente conocida como aritmética de punto flotante por bloques . El esquema CKKS incluye una operación de reescalado eficiente que reduce el tamaño de un mensaje cifrado después de una multiplicación. En comparación, dicho reescalado requiere un proceso de arranque en los esquemas BGV y BFV. La operación de reescalado convierte al esquema CKKS en el método más eficiente para evaluar aproximaciones polinómicas y es el enfoque preferido para implementar aplicaciones de aprendizaje automático que preservan la privacidad . El esquema introduce varios errores de aproximación, tanto no deterministas como deterministas, que requieren un manejo especial en la práctica. [ 41 ]

Un artículo de 2020 de Baiyu Li y Daniele Micciancio analiza ataques pasivos contra CKKS, sugiriendo que la definición estándar de IND-CPA podría no ser suficiente en escenarios donde se comparten los resultados del descifrado. [ 42 ] Los autores aplican el ataque a cuatro bibliotecas de cifrado homomórfico modernas (HEAAN, SEAL, HElib y PALISADE) e informan que es posible recuperar la clave secreta a partir de los resultados del descifrado en varias configuraciones de parámetros. Los autores también proponen estrategias de mitigación para estos ataques e incluyen una Divulgación Responsable en el artículo, sugiriendo que las bibliotecas de cifrado homomórfico ya habían implementado medidas de mitigación antes de que el artículo se hiciera público. También se ha publicado información adicional sobre las estrategias de mitigación implementadas en las bibliotecas de cifrado homomórfico. [ 43 ] [ 44 ]

Criptosistemas parcialmente homomórficos

En los siguientes ejemplos, la notaciónmi(incógnita){\displaystyle {\mathcal {E}}(x)}se utiliza para indicar el cifrado del mensajeincógnita{\displaystyle x}.

RSA sin acolchado
Si la clave pública RSA tiene módulonorte{\displaystyle n}y exponente de cifradomi{\displaystyle e}, luego el cifrado de un mensajemetro{\displaystyle m}es dado pormi(metro)=metromimodnorte{\displaystyle {\mathcal {E}}(m)=m^{e}\;{\bmod {\;}}n}La propiedad homomórfica es entonces
mi(metro1)⋅mi(metro2)=metro1mimetro2mimodnorte=(metro1metro2)mimodnorte=mi(metro1⋅metro2){\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(m_{1})\cdot {\mathcal {E}}(m_{2})&=m_{1}^{e}m_{2}^{e}\;{\bmod {\;}}n\\[6pt]&=(m_{1}m_{2})^{e}\;{\bmod {\;}}n\\[6pt]&={\mathcal {E}}(m_{1}\cdot m_{2})\end{aligned}}}
ElGamal
En el criptosistema ElGamal , en un grupo cíclicoGRAMO{\displaystyle G}del ordenq{\displaystyle q}con generadorgramo{\displaystyle g}, si la clave pública es(GRAMO,q,gramo,h){\displaystyle (G,q,g,h)}, dóndeh=gramoincógnita{\displaystyle h=g^{x}}, yincógnita{\displaystyle x}es la clave secreta, luego el cifrado de un mensajemetro{\displaystyle m}esmi(metro)=(gramor,metro⋅hr){\displaystyle {\mathcal {E}}(m)=(g^{r},m\cdot h^{r})}, por alguna razón aleatoriar∈{0,…,q−1}{\displaystyle r\in \{0,\ldots ,q-1\}}La propiedad homomórfica es entonces
mi(metro1)⋅mi(metro2)=(gramor1,metro1⋅hr1)(gramor2,metro2⋅hr2)=(gramor1+r2,(metro1⋅metro2)hr1+r2)=mi(metro1⋅metro2).{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(m_{1})\cdot {\mathcal {E}}(m_{2})&=(g^{r_{1}},m_{1}\cdot h^{r_{1}})(g^{r_{2}},m_{2}\cdot h^{r_{2}})\\[6pt]&=(g^{r_{1}+r_{2}},(m_{1}\cdot m_{2})h^{r_{1}+r_{2}})\\[6pt]&={\mathcal {E}}(m_{1}\cdot m_{2}).\end{aligned}}}
Goldwasser–Micali
En el criptosistema Goldwasser-Micali , si la clave pública es el módulonorte{\displaystyle n}y no residuo cuadráticoincógnita{\displaystyle x}, luego el cifrado de un bitb{\displaystyle b}esmi(b)=incógnitabr2modnorte{\displaystyle {\mathcal {E}}(b)=x^{b}r^{2}\;{\bmod {\;}}n}, por alguna razón aleatoriar∈{0,…,norte−1}{\displaystyle r\in \{0,\ldots ,n-1\}}La propiedad homomórfica es entonces
mi(b1)⋅mi(b2)=incógnitab1r12incógnitab2r22modnorte=incógnitab1+b2(r1r2)2modnorte=mi(b1⊕b2).{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(b_{1})\cdot {\mathcal {E}}(b_{2})&=x^{b_{1}}r_{1}^{2}x^{b_{2}}r_{2}^{2}\;{\bmod {\;}}n\\[6pt]&=x^{b_{1}+b_{2}}(r_{1}r_{2})^{2}\;{\bmod {\;}}n\\[6pt]&={\mathcal {E}}(b_{1}\oplus b_{2}).\end{aligned}}}

dónde⊕{\displaystyle \oplus }denota la suma módulo 2 (es decir, disyunción exclusiva ).

Benaloh
En el criptosistema Benaloh , si la clave pública es el módulonorte{\displaystyle n}y la basegramo{\displaystyle g}con un tamaño de bloque dedo{\displaystyle c}, luego el cifrado de un mensajemetro{\displaystyle m}esmi(metro)=gramometrordomodnorte{\displaystyle {\mathcal {E}}(m)=g^{m}r^{c}\;{\bmod {\;}}n}, por alguna razón aleatoriar∈{0,…,norte−1}{\displaystyle r\in \{0,\ldots ,n-1\}}La propiedad homomórfica es entonces
mi(metro1)⋅mi(metro2)=(gramometro1r1do)(gramometro2r2do)modnorte=gramometro1+metro2(r1r2)domodnorte=mi(metro1+metro2moddo).{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(m_{1})\cdot {\mathcal {E}}(m_{2})&=(g^{m_{1}}r_{1}^{c})(g^{m_{2}}r_{2}^{c})\;{\bmod {\;}}n\\[6pt]&=g^{m_{1}+m_{2}}(r_{1}r_{2})^{c}\;{\bmod {\;}}n\\[6pt]&={\mathcal {E}}(m_{1}+m_{2}\;{\bmod {\;}}c).\end{aligned}}}
Paillier
En el criptosistema Paillier , si la clave pública es el módulonorte{\displaystyle n}y la basegramo{\displaystyle g}, luego el cifrado de un mensajemetro{\displaystyle m}esmi(metro)=gramometrornortemodnorte2{\displaystyle {\mathcal {E}}(m)=g^{m}r^{n}\;{\bmod {\;}}n^{2}}, por alguna razón aleatoriar∈{0,…,norte−1}{\displaystyle r\in \{0,\ldots ,n-1\}}La propiedad homomórfica es entonces
mi(metro1)⋅mi(metro2)=(gramometro1r1norte)(gramometro2r2norte)modnorte2=gramometro1+metro2(r1r2)nortemodnorte2=mi(metro1+metro2).{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {E}}(m_{1})\cdot {\mathcal {E}}(m_{2})&=(g^{m_{1}}r_{1}^{n})(g^{m_{2}}r_{2}^{n})\;{\bmod {\;}}n^{2}\\[6pt]&=g^{m_{1}+m_{2}}(r_{1}r_{2})^{n}\;{\bmod {\;}}n^{2}\\[6pt]&={\mathcal {E}}(m_{1}+m_{2}).\end{aligned}}}
Otros criptosistemas parcialmente homomórficos

Implementaciones

Hay varias implementaciones de código abierto de esquemas de cifrado parcialmente, parcialmente y totalmente homomórficos. Las implementaciones de esquemas FHE de segunda y cuarta generación suelen operar en el modo FHE por niveles (aunque el arranque todavía está disponible en algunas bibliotecas) y admiten un empaquetado de datos eficiente similar a SIMD ; se utilizan normalmente para realizar cálculos con enteros cifrados o números reales/complejos. [ 49 ] Las implementaciones de esquemas FHE de tercera generación a menudo realizan un arranque después de cada operación, pero tienen un soporte limitado para el empaquetado; inicialmente se utilizaron para calcular circuitos booleanos sobre bits cifrados, pero se han extendido para admitir aritmética de enteros y evaluación de funciones univariadas. [ 50 ] La elección de utilizar un esquema de segunda, tercera o cuarta generación depende de los tipos de datos de entrada y del cálculo deseado.

Normalización

En 2017, investigadores de IBM , Microsoft , Intel , el NIST y otros formaron el Consorcio de Estandarización de Cifrado Homomórfico abierto, que mantiene un Estándar de Cifrado Homomórfico de seguridad comunitaria . [ 74 ] [ 75 ] [ 76 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Instituto Tecnológico de Massachusetts. "Investigadores desarrollan un método innovador para operaciones seguras con datos cifrados sin descifrado" . techxplore.com . Consultado el 1 de abril de 2025 .
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