Variación limitada

Definición 1.1. La variación total de una función f de valores reales (o, más generalmente, de valores complejos ) , definida en un intervalo${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$es la cantidad

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{P\in {\mathcal {P}}}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|.\,}$

donde el supremo es tomado sobre el conjunto${\textstyle {\mathcal {P}}=\left\{P=\{x_{0},\dots ,x_{n_{P}}\}\mid P{\text{ es una partición de }}[a,b]{\text{ que satisface }}x_{i}\leq x_{i+1}{\text{ para }}0\leq i\leq n_{P}-1\right\}}$de todas las particiones del intervalo considerado.

Si f es diferenciable y su derivada es integrable de Riemann, su variación total es la componente vertical de la longitud de arco de su gráfica, es decir,

${\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.}$

Definición 1.2. Una función de valor real${\displaystyle f}$Se dice que una función en la recta real tiene variación acotada ( función BV ) en un intervalo elegido.${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$ si su variación total es finita, es decir

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} ([a,b])\iff V_{a}^{b}(f)<+\infty }$

Se puede demostrar que una función real${\displaystyle f}$es de variación limitada en${\displaystyle [a,b]}$si y solo si se puede escribir como la diferencia${\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}$de dos funciones no decrecientes${\displaystyle f_{1}}$y${\displaystyle f_{2}}$en${\displaystyle [a,b]}$: este resultado se conoce como la descomposición de Jordan de una función y está relacionado con la descomposición de Jordan de una medida .

Mediante la integral de Stieltjes , cualquier función de variación acotada en un intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$define un funcional lineal acotado en${\displaystyle C([a,b])}$En este caso especial, ^{[ 3 ]} el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani establece que todo funcional lineal acotado surge de forma única de esta manera. Los funcionales positivos normalizados o medidas de probabilidad corresponden a funciones semicontinuas inferiores positivas no decrecientes . Este punto de vista ha sido importante en la teoría espectral , ^{[ 4 ]} en particular en su aplicación a ecuaciones diferenciales ordinarias .

Las funciones de variación acotada, funciones BV , son funciones cuya derivada distribucional es una medida de Radon finita ^{[ 5 ]} . Más precisamente:

Definición 2.1. Sea${\displaystyle \Omega }$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Una función${\displaystyle u}$perteneciente a${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$Se dice que es de variación acotada ( función BV ) y se escribe

${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$

si existe una medida de Radon vectorial finita${\displaystyle Du\in {\mathcal {M}}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$de tal manera que se cumple la siguiente igualdad.

${\displaystyle \int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }},Du(x)\rangle \qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

eso es,${\displaystyle u}$define un funcional lineal en el espacio${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$de funciones vectoriales continuamente diferenciables${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}}$de soporte compacto contenido en${\displaystyle \Omega }$: la medida vectorial${\displaystyle Du}$representa por lo tanto el gradiente distribucional o débil de${\displaystyle u}$.

BV se puede definir de forma equivalente de la siguiente manera.

Definición 2.2. Dada una función${\displaystyle u}$perteneciente a${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$, la variación total de${\displaystyle u}$^{[ 6 ]} en${\displaystyle \Omega }$se define como

${\displaystyle V(u,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

dónde${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$es la norma suprema esencial . A veces, especialmente en la teoría de conjuntos de Caccioppoli , se utiliza la siguiente notación.

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert Du\vert =V(u,\Omega )}$

para enfatizar que${\displaystyle V(u,\Omega )}$es la variación total del gradiente distribucional / débil de${\displaystyle u}$. Esta notación también recuerda que si${\displaystyle u}$es de clase ${\displaystyle C^{1}}$(es decir, una función continua y diferenciable con derivadas continuas ) entonces su variación es exactamente la integral del valor absoluto de su gradiente .

El espacio de funciones de variación acotada ( funciones BV ) se puede definir entonces como

${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )=\{u\in L^{1}(\Omega )\colon V(u,\Omega )<+\infty \}}$

Las dos definiciones son equivalentes ya que si${\displaystyle V(u,\Omega )<+\infty }$entonces

${\displaystyle \left|\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq V(u,\Omega )\Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$

por lo tanto${\textstyle \displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\mapsto \,\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,dx}$define un funcional lineal continuo en el espacio${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$. Desde${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})\subset C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$como un subespacio lineal , este funcional lineal continuo puede extenderse de forma continua y lineal a todo el espacio.${\displaystyle C^{0}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$por el teorema de Hahn-Banach . Por lo tanto, el funcional lineal continuo define una medida de Radon por el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani .

Si el espacio de funciones de funciones localmente integrables , es decir, funciones que pertenecen a${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$, se considera en las definiciones anteriores 1.2 , 2.1 y 2.2 en lugar de la de funciones globalmente integrables , entonces el espacio de funciones definido es el de funciones de variación localmente acotada . Precisamente, desarrollando esta idea para la definición 2.2 , una variación local se define de la siguiente manera:

${\displaystyle V(u,U):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x:{\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\}}$

para cada conjunto${\displaystyle U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$, habiendo definido${\displaystyle {\mathcal {O}}_{c}(\Omega )}$como el conjunto de todos los subconjuntos abiertos precompactos de${\displaystyle \Omega }$con respecto a la topología estándar de espacios vectoriales de dimensión finita , y correspondientemente la clase de funciones de variación localmente acotada se define como

${\displaystyle \operatorname {BV} _{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )\colon \,(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\,V(u,U)<+\infty \}}$

Básicamente existen dos convenciones distintas para la notación de espacios de funciones de variación local o globalmente acotada, y desafortunadamente son bastante similares: la primera, que es la adoptada en esta entrada, se utiliza por ejemplo en las referencias Giusti (1984) (parcialmente), Hudjaev & Vol'pert (1985) (parcialmente), Giaquinta, Modica & Souček (1998) y es la siguiente.

• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación globalmente acotada
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{\text{loc}}(\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación localmente acotada

La segunda, que se adopta en las referencias Vol'pert (1967) y Maz'ya (1985) (parcialmente), es la siguiente:

• ${\displaystyle {\overline {\operatorname {\operatorname {BV} } }}(\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación globalmente acotada
• ${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$identifica el espacio de funciones de variación localmente acotada

En el caso de una variable, la afirmación es clara: para cada punto${\displaystyle x_{0}}$en el intervalo${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$de definición de la función${\displaystyle u}$Una de las dos afirmaciones siguientes es verdadera.

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)=\!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0^{-}}}\!\!\!u(x)\neq \!\!\!\lim _{x\rightarrow x_{0^{+}}}\!\!\!u(x)}$

mientras que ambos límites existen y son finitos. En el caso de funciones de varias variables, hay algunas premisas que comprender: en primer lugar, existe un continuo de direcciones a lo largo de las cuales es posible aproximarse a un punto dado.${\displaystyle x_{0}}$perteneciente al dominio${\displaystyle \Omega }$⊂${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Es necesario precisar un concepto adecuado de límite : elegir un vector unitario .${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {a}}}\in \mathbb {R} ^{n}}$es posible dividir${\displaystyle \Omega }$en dos conjuntos

${\displaystyle \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}}\rangle >0\}}$

Luego, para cada punto${\displaystyle x_{0}}$perteneciente al dominio${\displaystyle \Omega \in \mathbb {R} ^{n}}$de la función BV${\displaystyle u}$Solo una de las dos afirmaciones siguientes es verdadera.

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=\!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})\neq \!\!\!\!\!\!\!\lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})}$

o${\displaystyle x_{0}}$pertenece a un subconjunto de${\displaystyle \Omega }$tener cero${\displaystyle n-1}$Medida de Hausdorff -dimensional . Las cantidades

${\displaystyle \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{({\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}}_{0})\qquad \lim _{\overset {{\boldsymbol {x}}\rightarrow {\boldsymbol {x}}_{0}}{{\boldsymbol {x}}\in \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}}}\!\!\!\!\!\!\!u({\boldsymbol {x}})=u_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}}_{0})}$

se denominan límites aproximados de la función BV${\displaystyle u}$en ese punto${\displaystyle x_{0}}$.

El funcional${\displaystyle V(\cdot ,\Omega ):\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$es semicontinua inferiormente : para ver esto, elija una sucesión de Cauchy de funciones BV.${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$convergiendo a${\displaystyle u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega )}$Entonces, dado que todas las funciones de la secuencia y su función límite son integrables y por la definición de límite inferior

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )&\geq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&\geq \int _{\Omega }\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}(x)\operatorname {div} \,{\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}\,\mathrm {d} x\qquad \forall {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\quad \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\end{aligned}}}$

Ahora consideremos el supremo en el conjunto de funciones.${\displaystyle {\boldsymbol {\phi }}\in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$de tal manera que${\displaystyle \Vert {\boldsymbol {\phi }}\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1}$Entonces se cumple la siguiente desigualdad.

${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }V(u_{n},\Omega )\geq V(u,\Omega )}$

que es precisamente la definición de semicontinuidad inferior .

Por definición${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$es un subconjunto de${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$, mientras que la linealidad se deriva de las propiedades de linealidad de la integral definitoria , es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }[u(x)+v(x)]\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x&=\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }v(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=\\&=-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle -\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Dv(x)\rangle =-\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),[Du(x)+Dv(x)]\rangle \end{aligned}}}$

a pesar de${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$por lo tanto${\displaystyle u+v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$a pesar de${\displaystyle u,v\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$, y

${\displaystyle \int _{\Omega }c\cdot u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} {\boldsymbol {\phi }}(x)\,\mathrm {d} x=-c\int _{\Omega }\langle {\boldsymbol {\phi }}(x),Du(x)\rangle }$

a pesar de${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, por lo tanto${\displaystyle cu\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$a pesar de${\displaystyle u\in \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$y todos${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$Las propiedades demostradas del espacio vectorial implican que${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$es un subespacio vectorial de${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$Consideremos ahora la función${\displaystyle \|\;\|_{\operatorname {BV} }:\operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$definido como

${\displaystyle \|u\|_{\operatorname {BV} }:=\|u\|_{L^{1}}+V(u,\Omega )}$

dónde${\displaystyle \|\;\|_{L^{1}}}$es lo habitual${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$norma : es fácil demostrar que esta es una norma en${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$Para ver eso${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$es completo con respecto a él, es decir es un espacio de Banach , consideremos una sucesión de Cauchy${\displaystyle \{u_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$en${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$. Por definición, también es una sucesión de Cauchy en${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$y por lo tanto tiene un límite${\displaystyle u}$en${\displaystyle L^{1}(\Omega )}$: desde${\displaystyle u_{n}}$está delimitado en${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$para cada${\displaystyle n}$, entonces${\displaystyle \Vert u\Vert _{\operatorname {BV} }<+\infty }$por menor semicontinuidad de la variación${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$, por lo tanto${\displaystyle u}$es una función BV. Finalmente, nuevamente por semicontinuidad inferior, eligiendo un número positivo pequeño arbitrario${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \Vert u_{j}-u_{k}\Vert _{\operatorname {BV} }<\varepsilon \quad \forall j,k\geq N\in \mathbb {N} \quad \Rightarrow \quad V(u_{k}-u,\Omega )\leq \liminf _{j\rightarrow +\infty }V(u_{k}-u_{j},\Omega )\leq \varepsilon }$

De esto deducimos que${\displaystyle V(\cdot ,\Omega )}$Es continuo porque es una norma.

Para ver esto, basta con considerar el siguiente ejemplo perteneciente al espacio${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$: ^{[ 7 ]} para cada 0  < α < 1 definir   

${\displaystyle \chi _{\alpha }=\chi _{[\alpha ,1]}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\notin \;[\alpha ,1]\\1&{\mbox{if }}x\in [\alpha ,1]\end{cases}}}$

como función característica del intervalo cerrado por la izquierda${\displaystyle [\alpha ,1]}$. Luego, eligiendo${\displaystyle \alpha ,\beta \in [0,1]}$de tal manera que${\displaystyle \alpha \neq \beta }$La siguiente relación es verdadera:

${\displaystyle \Vert \chi _{\alpha }-\chi _{\beta }\Vert _{\operatorname {BV} }=2}$

Ahora, para demostrar que cada subconjunto denso de${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (]0,1[)}$no puede ser contable , es suficiente ver que para cada${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$es posible construir las pelotas

${\displaystyle B_{\alpha }=\left\{\psi \in \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1]);\Vert \chi _{\alpha }-\psi \Vert _{\operatorname {BV} }\leq 1\right\}}$

Obviamente esas bolas son disjuntas dos a dos , y también son una familia indexada de conjuntos cuyo conjunto de índices es${\displaystyle [0,1]}$. Esto implica que esta familia tiene la cardinalidad del continuo : ahora, puesto que cada subconjunto denso de${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } ([0,1])}$debe tener al menos un punto dentro de cada miembro de esta familia, su cardinalidad es al menos la del continuo y por lo tanto no puede ser un subconjunto numerable. ^{[ 8 ]} Este ejemplo obviamente puede extenderse a dimensiones superiores, y dado que involucra solo propiedades locales , implica que la misma propiedad es verdadera también para${\displaystyle \operatorname {BV} _{loc}}$.

Las reglas de cadena para funciones no suaves son muy importantes en matemáticas y física matemática, ya que existen varios modelos físicos importantes cuyo comportamiento se describe mediante funciones o funcionales con un grado de suavidad muy limitado . La siguiente regla de cadena se demuestra en el artículo ( Vol'pert 1967 , p. 248) . Cabe señalar que todas las derivadas parciales deben interpretarse en un sentido generalizado, es decir, como derivadas generalizadas . 

Teorema . Sea${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} }$ser una función de clase${\displaystyle C^{1}}$(es decir, una función continua y diferenciable con derivadas continuas ) y sea${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=(u_{1}({\boldsymbol {x}}),\ldots ,u_{p}({\boldsymbol {x}}))}$ser una función en${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$con${\displaystyle \Omega }$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Entonces${\displaystyle f\circ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))\in \operatorname {\operatorname {BV} } _{loc}(\Omega )}$y

${\displaystyle {\frac {\partial f({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial x_{i}}}=\sum _{k=1}^{p}{\frac {\partial {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial {u_{k}({\boldsymbol {x}})}}{\partial x_{i}}}\qquad \forall i=1,\ldots ,n}$

dónde${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))}$es el valor medio de la función en el punto${\displaystyle x\in \Omega }$, definido como

${\displaystyle {\bar {f}}({\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}}))=\int _{0}^{1}f\left({\boldsymbol {u}}_{\boldsymbol {\hat {a}}}({\boldsymbol {x}})t+{\boldsymbol {u}}_{-{\boldsymbol {\hat {a}}}}({\boldsymbol {x}})(1-t)\right)\,dt}$

Una fórmula de regla de la cadena más general para funciones continuas de Lipschitz${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{p}\rightarrow \mathbb {R} ^{s}}$Fue hallada por Luigi Ambrosio y Gianni Dal Maso y publicada en el artículo ( Ambrosio & Dal Maso 1990 ) . Sin embargo, incluso esta fórmula tiene consecuencias directas muy importantes: utilizamos${\displaystyle (u({\boldsymbol {x}}),v({\boldsymbol {x}}))}$en lugar de${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})}$, dónde${\displaystyle v({\boldsymbol {x}})}$también es un${\displaystyle BV_{loc}}$función. También debemos asumir que${\displaystyle {\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}$es localmente integrable con respecto a la medida${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$para cada${\displaystyle i}$y que${\displaystyle {\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}$es localmente integrable con respecto a la medida${\displaystyle {\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$para cada${\displaystyle i}$. Luego eligiendo${\displaystyle f((u,v))=uv}$La fórmula anterior proporciona la regla de Leibniz para las funciones 'BV'.

${\displaystyle {\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}={{\bar {u}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial v({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}+{{\bar {v}}({\boldsymbol {x}})}{\frac {\partial u({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}}$

Es posible generalizar la noción anterior de variación total de modo que las diferentes variaciones tengan diferente ponderación. Más precisamente, sea${\displaystyle \varphi$ :[0,+\infty )\longrightarrow [0,+\infty )} sea cualquier función creciente tal que${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (0+)=\lim _{x\rightarrow 0_{+}}\varphi (x)=0}$(la función de peso ) y dejemos${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow X}$sea ​​una función del intervalo${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle \subset \mathbb {R} }$tomando valores en un espacio vectorial normalizado${\displaystyle X}$. Entonces el${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}}$-variación de${\displaystyle f}$encima${\displaystyle [0,T]}$se define como

${\displaystyle \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f):=\sup \sum _{j=0}^{k}\varphi \left(|f(t_{j+1})-f(t_{j})|_{X}\right),}$

donde, como es habitual, el supremo se toma sobre todas las particiones finitas del intervalo${\displaystyle [0,T]}$es decir, todos los conjuntos finitos de números reales${\displaystyle t_{i}}$de tal manera que

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=T.}$

La noción original de variación considerada anteriormente es el caso especial de${\displaystyle \varphi }$-variación para la cual la función de peso es la función identidad : por lo tanto, una función integrable.${\displaystyle f}$Se dice que es una función BV ponderada (de peso${\displaystyle \varphi }$) si y solo si su${\displaystyle \varphi }$-La variación es finita.

${\displaystyle f\in \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)\iff \mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f)<+\infty }$

El espacio${\displaystyle \operatorname {BV} _{\varphi }([0,T];X)}$es un espacio vectorial topológico con respecto a la norma

${\displaystyle \|f\|_{\operatorname {BV} _{\varphi }}:=\|f\|_{\infty }+\mathop {\varphi {\text{-}}\operatorname {Var} } _{[0,T]}(f),}$

dónde${\displaystyle \|f\|_{\infty }}$denota la norma suprema usual de${\displaystyle f}$Las funciones BV ponderadas fueron introducidas y estudiadas en toda generalidad por Władysław Orlicz y Julian Musielak en el artículo Musielak & Orlicz 1959 : Laurence Chisholm Young estudió anteriormente el caso${\displaystyle \varphi (x)=x^{p}}$dónde${\displaystyle p}$es un número entero positivo.

Las funciones SBV, es decir, las funciones especiales de variación acotada, fueron introducidas por Luigi Ambrosio y Ennio De Giorgi en el artículo ( Ambrosio & De Giorgi 1988 ) , que trata sobre problemas variacionales de discontinuidad libre : dado un subconjunto abierto${\displaystyle \Omega }$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, el espacio${\displaystyle \operatorname {SBV} (\Omega )}$es un subespacio lineal propio de${\displaystyle \operatorname {\operatorname {BV} } (\Omega )}$, puesto que el gradiente débil de cada función que le pertenece consiste precisamente en la suma de un${\displaystyle n}$- soporte dimensional y un${\displaystyle n-1}$- medida de soporte dimensional y sin términos de dimensión intermedia , como se ve en la siguiente definición.

Definición . Dada una función localmente integrable${\displaystyle u}$, entonces${\displaystyle u\in \operatorname {SBV} (\Omega )}$si y solo si

1. Existen dos funciones de Borel.${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$del dominio${\displaystyle \Omega }$y codominio${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de tal manera que

${\displaystyle \int _{\Omega }\vert f\vert \,dH^{n}+\int _{\Omega }\vert g\vert \,dH^{n-1}<+\infty .}$

2. Para todas las funciones vectoriales continuamente diferenciables${\displaystyle \phi }$de soporte compacto contenido en${\displaystyle \Omega }$, es decir, para todos${\displaystyle \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$La siguiente fórmula es verdadera:

${\displaystyle \int _{\Omega }u\operatorname {div} \phi \,dH^{n}=\int _{\Omega }\langle \phi ,f\rangle \,dH^{n}+\int _{\Omega }\langle \phi ,g\rangle \,dH^{n-1}.}$

dónde${\displaystyle H^{\alpha }}$es el${\displaystyle \alpha }$- Medida dimensional de Hausdorff .

Los detalles sobre las propiedades de las funciones SBV se pueden encontrar en los trabajos citados en la sección de bibliografía: en particular, el artículo ( De Giorgi 1992 ) contiene una bibliografía útil .

Como ejemplos particulares de espacios de Banach , Dunford y Schwartz (1958 , Capítulo IV) consideran espacios de sucesiones de variación acotada , además de los espacios de funciones de variación acotada. La variación total de una sucesión x  =  ( x _i ) de números reales o complejos se define por

${\displaystyle \operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

El espacio de todas las secuencias de variación total finita se denota por BV. La norma en BV viene dada por

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} }=|x_{1}|+\operatorname {TV} (x)=|x_{1}|+\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Con esta norma, el espacio BV es un espacio de Banach que es isomorfo a${\displaystyle \ell _{1}}$.

La variación total en sí misma define una norma en un cierto subespacio de BV, denotado por BV ₀ , que consiste en secuencias x = ( x _i ) para las cuales

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=0.}$

La norma en BV ₀ se denota

${\displaystyle \|x\|_{\operatorname {BV} _{0}}=\operatorname {TV} (x)=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i+1}-x_{i}|.}$

Con respecto a esta norma, BV ₀ también se convierte en un espacio de Banach, que es isomorfo e isométrico a${\displaystyle \ell _{1}}$(aunque no de forma natural).

Una medida con signo (o compleja )${\displaystyle \mu }$en un espacio mensurable${\displaystyle (X,\Sigma )}$Se dice que es de variación limitada si su variación total${\displaystyle \Vert \mu \Vert =|\mu |(X)}$está acotado: véase Halmos (1950 , p. 123) , Kolmogorov y Fomin (1969 , p. 346) o la entrada " Variación total " para más detalles.  

Se han estudiado funciones de variación acotada en relación con el conjunto de discontinuidades de funciones y la diferenciabilidad de funciones reales, y los siguientes resultados son bien conocidos. Si${\displaystyle f}$es una función real de variación acotada en un intervalo${\displaystyle [a,b]}$entonces

• ${\displaystyle f}$es continua excepto como máximo en un conjunto numerable ;
• ${\displaystyle f}$tiene límites unilaterales en todas partes (límites desde la izquierda en todas partes en${\displaystyle (a,b]}$y desde la derecha en todas partes en${\displaystyle [a,b)}$ ;
• el derivado${\displaystyle f'(x)}$existe en casi todas partes (es decir, excepto en un conjunto de medida cero ).

Para funciones reales de varias variables reales

• La función característica de un conjunto de Caccioppoli es una función BV: las funciones BV constituyen la base de la teoría moderna de perímetros.
• Las superficies mínimas son gráficas de funciones BV: en este contexto, véase la referencia ( Giusti 1984 ) .

La capacidad de las funciones de variación acotada (BV) para manejar discontinuidades ha propiciado su uso generalizado en las ciencias aplicadas: las soluciones de problemas en mecánica, física y cinética química suelen representarse mediante funciones de variación acotada. El libro ( Hudjaev y Vol'pert, 1985 ) detalla un amplio conjunto de aplicaciones de las funciones BV en física matemática. Asimismo, incluye una aplicación moderna que merece una breve descripción.

• El funcional de Mumford-Shah : el problema de segmentación para una imagen bidimensional, es decir, el problema de la reproducción fiel de contornos y escalas de grises es equivalente a la minimización de dicho funcional .
• eliminación de ruido de variación total

• Golubov, Boris I.; Vitushkin, Anatolii G. (2001) [1994], "Variación de una función" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Función BV" . PlanetMath ..
• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Variación acotada" . MathWorld .
• Función de variación acotada en la Enciclopedia de Matemáticas

• Página web de Luigi Ambrosio en la Scuola Normale Superiore di Pisa . Página académica (con preimpresiones y publicaciones) de uno de los autores que contribuyeron a la teoría y las aplicaciones de las funciones BV.
• Grupo de Investigación en Cálculo de Variaciones y Teoría de la Medida Geométrica , Scuola Normale Superiore di Pisa .

Este artículo incorpora material de la función BV en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .