Funcional (matemáticas)

El funcional de longitud de arco tiene como dominio el espacio vectorial de curvas rectificables , un subespacio de $C([0,1],\mathbb {R} ^{3})$ – y produce un escalar real. Este es un ejemplo de un funcional no lineal.

{\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})} — El funcional de longitud de arco tiene como dominio el espacio vectorial de curvas rectificables , un subespacio de $C([0,1],\mathbb {R} ^{3})$ – y produce un escalar real. Este es un ejemplo de un funcional no lineal.

En matemáticas , un funcional es un tipo específico de función . La definición exacta del término varía según el subcampo (e incluso a veces según el autor).

En álgebra lineal , es sinónimo de una forma lineal , que es una aplicación lineal de un espacio vectorial. $V$ en su campo de escalares (es decir, es un elemento del espacio dual) $V^{*}$ ) ^{[ 1 ]}
En el análisis funcional y campos relacionados, se refiere a un mapeo desde un espacio $X$ en el campo de los números reales o complejos . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} En análisis funcional, el término funcional lineal es sinónimo de forma lineal ; ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} es decir, es una aplicación lineal con valores escalares. Dependiendo del autor, tales aplicaciones pueden o no asumirse como lineales, o como definidas en todo el espacio. $X.$
En informática , es sinónimo de función de orden superior , que es una función que toma una o más funciones como argumentos o las devuelve.

Este artículo se centra principalmente en el segundo concepto, que surgió a principios del siglo XVIII como parte del cálculo de variaciones . El primer concepto, más moderno y abstracto, se analiza en detalle en un artículo aparte, bajo el nombre de forma lineal . El tercer concepto se detalla en el artículo de informática sobre funciones de orden superior .

En el caso donde el espacio $X$ es un espacio de funciones, el funcional es una "función de una función", ^{[ 6 ]} y algunos autores más antiguos definen el término "funcional" como "función de una función". Sin embargo, el hecho de que $X$ Que sea un espacio de funciones no es matemáticamente esencial, por lo que esta definición antigua ya no prevalece.

El término tiene su origen en el cálculo de variaciones , donde se busca una función que minimice (o maximice) un funcional dado. Una aplicación particularmente importante en física es la búsqueda de un estado de un sistema que minimice (o maximice) la acción , o en otras palabras, la integral temporal del lagrangiano .

Detalles

Dualidad

El mapeo $x_{0}\mapsto f(x_{0})$ es una función, donde $x_{0}$ es un argumento de una función $f.$ Al mismo tiempo, el mapeo de una función al valor de la función en un punto $f\mapsto f(x_{0})$ es funcional ; aquí, $x_{0}$ es un parámetro .

Siempre que $f$ es una función lineal de un espacio vectorial al campo escalar subyacente, los mapas lineales anteriores son duales entre sí, y en análisis funcional ambos se denominan funcionales lineales .

Integral definida

Integrales como $f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)$ forman una clase especial de funcionales. Mapean una función $f$ en un número real, siempre que $H$ es de valor real. Algunos ejemplos incluyen:

el área debajo de la gráfica de una función positiva $f$ $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x$
$L^{p}$ norma de una función en un conjunto $E$ $f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}$
la longitud de arco de una curva en el espacio euclidiano bidimensional $f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x$

Espacios de productos internos

Dado un espacio de producto interno $X,$ y un vector fijo ${\vec {x}}\in X,$ el mapa definido por ${\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ es un funcional lineal en $X.$ El conjunto de vectores ${\vec {y}}$ de tal manera que ${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}$ es cero es un subespacio vectorial de $X,$ llamado espacio nulo o núcleo del funcional, o complemento ortogonal de ${\vec {x}},$ denotado $\{{\vec {x}}\}^{\perp }.$

Por ejemplo, tomando el producto interno con una función fija. $g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])$ define un funcional (lineal) en el espacio de Hilbert $L^{2}([-\pi ,\pi ])$ de funciones de cuadrado integrable en $[-\pi ,\pi ]:$ $f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g$

Localidad

Si el valor de una función se puede calcular para pequeños segmentos de la curva de entrada y luego sumarlos para obtener el valor total, la función se denomina local. De lo contrario, se denomina no local. Por ejemplo: $F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x$ es local mientras $F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}$ es no local. Esto ocurre comúnmente cuando las integrales aparecen por separado en el numerador y el denominador de una ecuación, como en los cálculos del centro de masa.

Ecuaciones funcionales

El uso tradicional también se aplica cuando se habla de una ecuación funcional, es decir, una ecuación entre funcionales: una ecuación $F=G$ Las relaciones entre funcionales pueden interpretarse como una "ecuación a resolver", cuyas soluciones son, a su vez, funciones. En tales ecuaciones puede haber varios conjuntos de incógnitas variables, como cuando se dice que una aplicación aditiva $f$ es una que satisface la ecuación funcional de Cauchy : $f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.$

Derivada e integración

Las derivadas funcionales se utilizan en la mecánica lagrangiana . Son derivadas de funcionales; es decir, contienen información sobre cómo cambia un funcional cuando la función de entrada cambia en una pequeña cantidad.

Richard Feynman utilizó las integrales funcionales como idea central en su formulación de la mecánica cuántica basada en la suma sobre las historias . Este uso implica una integral tomada sobre algún espacio de funciones .

Véase también

Forma lineal : aplicación lineal de un espacio vectorial a su campo de escalares.
Optimización (matemáticas) – Estudio de algoritmos matemáticos para problemas de optimización. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección.
Tensor : objeto algebraico con aplicaciones geométricas.

Referencias

↑ Lang 2002 , p. 142 "Sea E un módulo libre sobre un anillo conmutativo A. Consideramos A como un módulo libre de rango 1 sobre sí mismo. Por módulo dual E ^∨ de E nos referiremos al módulo Hom( E , A ). Sus elementos se denominarán funcionales . Así, un funcional en E es unaaplicación A -lineal f : E → A ."
↑ Kolmogorov y Fomin 1957 , p. 77: "Una función numérica f ( x ) definida en un espacio lineal normado R se denomina funcional . Se dice que un funcional f ( x ) es lineal si f ( αx + βy ) = αf ( x ) + βf ( y ) , donde x , y ∈ R y α, β son números arbitrarios."
1 2 Wilansky 2008 , pág. 7.
↑ Axler (2014) pág. 101, §3.92
↑ Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Funcional lineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
↑ Kolmogorov y^{Fomin ,}1957 , págs. 62-63 ^: «Una función real en un espacio R es una aplicación de R al espacio R₁ (la recta real). Así, por ejemplo, una aplicación de ^Rₙen R₁ es una función ordinaria de valores reales de n variables. En el caso de que el espacio R mismo esté formado por funciones, las funciones de los elementos de R se denominan generalmente funcionales ».

Axler, Sheldon (18 de diciembre de 2014), Álgebra lineal bien hecha , Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.), Springer (publicado en 2015), ISBN 978-3-319-11079-0
Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (2012) [1957]. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional . Dover Books on Mathematics. Nueva York: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2OCLC 912495626
Lang, Serge (2002), "III. Módulos, §6. El espacio dual y el módulo dual", Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada ), Nueva York: Springer-Verlag, pp. 142–146 , ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
Wilansky, Albert (17 de octubre de 2008) [1970]. Topología para el análisis . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4OCLC 227923899
Sobolev, VI (2001) [1994], "Funcional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Funcional lineal en el laboratorio n
Funcional no lineal en el laboratorio n
Rowland, Todd. "Funcional" . MathWorld .
Rowland, Todd. "Funcional lineal" . MathWorld .

[LangAlgebra2002DefFunctional-1] Lang 2002 , p. 142 "Sea E un módulo libre sobre un anillo conmutativo A. Consideramos A como un módulo libre de rango 1 sobre sí mismo. Por módulo dual E ^∨ de E nos referiremos al módulo Hom( E , A ). Sus elementos se denominarán funcionales . Así, un funcional en E es unaaplicación A -lineal f : E → A ."

[KolmogorovDefFunctionalOnLinearSpace-2] Kolmogorov y Fomin 1957 , p. 77: "Una función numérica f ( x ) definida en un espacio lineal normado R se denomina funcional . Se dice que un funcional f ( x ) es lineal si f ( αx + βy ) = αf ( x ) + βf ( y ) , donde x , y ∈ R y α, β son números arbitrarios."

[FOOTNOTEWilansky20087-3] 1 2 Wilansky 2008 , pág. 7.

[Axler2015-4] Axler (2014) pág. 101, §3.92

[EOFLinearFunctional-5] Khelemskii, A.Ya. (2001) [1994], "Funcional lineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[KolmogorovDefFunctionalAsMapDefinedOnSetOfFunctions-6] Kolmogorov y^{Fomin ,}1957 , págs. 62-63 ^: «Una función real en un espacio R es una aplicación de R al espacio R₁ (la recta real). Así, por ejemplo, una aplicación de ^Rₙen R₁ es una función ordinaria de valores reales de n variables. En el caso de que el espacio R mismo esté formado por funciones, las funciones de los elementos de R se denominan generalmente funcionales ».

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]