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Análisis funcional

Uno de los posibles modos de vibración de una membrana circular . Estos modos son autofunciones de un operador lineal en un espacio de funciones, una construcción común en el an...

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Uno de los posibles modos de vibración de una membrana circular . Estos modos son autofunciones de un operador lineal en un espacio de funciones, una construcción común en el análisis funcional.

El análisis funcional es una rama del análisis matemático cuyo núcleo reside en el estudio de espacios vectoriales dotados de alguna estructura relacionada con límites (por ejemplo, producto interno , norma o topología ) y las funciones lineales definidas en estos espacios que respetan adecuadamente dichas estructuras. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de espacios de funciones y en la formulación de propiedades de transformaciones de funciones, como la transformada de Fourier , que definen, por ejemplo, operadores continuos o unitarios entre espacios de funciones. Este enfoque resultó particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

El uso de la palabra funcional como sustantivo se remonta al cálculo de variaciones , implicando una función cuyo argumento es una función . El término se utilizó por primera vez en el libro de Hadamard de 1910 sobre ese tema. Sin embargo, el concepto general de funcional había sido introducido previamente en 1887 por el matemático y físico italiano Vito Volterra . [ 1 ] [ 2 ] La teoría de los funcionales no lineales fue continuada por los estudiantes de Hadamard, en particular Fréchet y Lévy . Hadamard también fundó la escuela moderna de análisis funcional lineal, desarrollada posteriormente por Riesz y el grupo de matemáticos polacos en torno a Stefan Banach .

En los textos introductorios modernos sobre análisis funcional, el tema se considera el estudio de espacios vectoriales dotados de una topología, en particular espacios de dimensión infinita . [ 3 ] [ 4 ] En contraste, el álgebra lineal se ocupa principalmente de espacios de dimensión finita y no utiliza la topología. Una parte importante del análisis funcional es la extensión de las teorías de la medida , la integración y la probabilidad a espacios de dimensión infinita, también conocida como análisis de dimensión infinita .

espacios vectoriales normalizados

La clase básica e históricamente principal de espacios estudiados en análisis funcional son los espacios vectoriales normados completos sobre los números reales o complejos . Dichos espacios se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante es un espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno. Estos espacios son de fundamental importancia en muchas áreas, incluyendo la formulación matemática de la mecánica cuántica , el aprendizaje automático , las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis de Fourier .

En términos más generales, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales topológicos que no poseen una norma.

Un objeto de estudio importante en el análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en espacios de Banach y Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C*-álgebras y otras álgebras de operadores .

espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert pueden clasificarse completamente: existe un único espacio de Hilbert salvo isomorfismo para cada cardinalidad de la base ortonormal . [ 5 ] Los espacios de Hilbert de dimensión finita se comprenden completamente en álgebra lineal , y los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son isomorfos aℓ2(ℵ0){\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,}La separabilidad es importante para las aplicaciones, por lo que el análisis funcional de los espacios de Hilbert se centra principalmente en este ámbito. Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional consiste en demostrar que todo operador lineal acotado en un espacio de Hilbert posee un subespacio invariante propio. Ya se han demostrado muchos casos particulares de este problema del subespacio invariante .

Espacios Banach

Los espacios de Banach generales son más complejos que los espacios de Hilbert y no pueden clasificarse de una manera tan simple como estos. En particular, muchos espacios de Banach carecen de una noción análoga a una base ortonormal .

Ejemplos de espacios de Banach son:Lpag{\displaystyle L^{p}}-espacios para cualquier número realpag≥1{\displaystyle p\geq 1}. Dado también una medidaμ{\displaystyle \mu }en el setincógnita{\displaystyle X}, entoncesLpag(incógnita){\displaystyle L^{p}(X)}, a veces también denotadoLpag(incógnita,μ){\displaystyle L^{p}(X,\mu )}oLpag(μ){\displaystyle L^{p}(\mu )}, tiene como clases de equivalencia de vectores[F]{\displaystyle [\,f\,]}de funciones medibles cuyo valor absoluto espag{\displaystyle p}-ésima potencia tiene integral finita; es decir, funcionesF{\displaystyle f}para lo cual uno tiene ∫incógnita|F(incógnita)|pagdμ(incógnita)<∞.{\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .}

Siμ{\displaystyle \mu }es la medida de conteo , entonces la integral puede ser reemplazada por una suma. Es decir, requerimos ∑incógnita∈incógnita|F(incógnita)|pag<∞.{\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}

Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio se denotaℓpag(incógnita){\displaystyle \ell ^{p}(X)}escrito de forma más sencillaℓpag{\displaystyle \ell ^{p}}en el caso cuandoincógnita{\displaystyle X}es el conjunto de los enteros no negativos .

En los espacios de Banach, gran parte del estudio se centra en el espacio dual : el espacio de todas las aplicaciones lineales continuas del espacio a su cuerpo subyacente, denominadas funcionales. Un espacio de Banach puede identificarse canónicamente con un subespacio de su bidual, que es el dual de su espacio dual. La aplicación correspondiente es una isometría , pero en general no sobreyectiva. Un espacio de Banach general y su bidual no tienen por qué ser isométricos, a diferencia de lo que ocurre en dimensiones finitas. Esto se explica en el artículo sobre el espacio dual.

Además, la noción de derivada puede extenderse a funciones arbitrarias entre espacios de Banach. Véase, por ejemplo, el artículo sobre la derivada de Fréchet .

Análisis funcional lineal

[ 6 ]

Resultados importantes y fundamentales

Existen cuatro teoremas principales que a veces se denominan los cuatro pilares del análisis funcional:

Entre los resultados importantes del análisis funcional se incluyen:

Principio de acotación uniforme

El principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales del análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de la aplicación abierta , se considera una de las piedras angulares de este campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y, por lo tanto, operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach , la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus , pero también fue demostrado de forma independiente por Hans Hahn .

Teorema (Principio de acotación uniforme) — Seaincógnita{\displaystyle X}ser un espacio Banach yY{\displaystyle Y}Sea un espacio vectorial normado . Supongamos queF{\displaystyle F}es una colección de operadores lineales continuos deincógnita{\displaystyle X}aY{\displaystyle Y}. Si para todosincógnita{\displaystyle x}enincógnita{\displaystyle X}uno tiene sorberT∈F‖T(incógnita)‖Y<∞,{\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,} entonces sorberT∈F‖T‖B(incógnita,Y)<∞.{\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}

Teorema espectral

Existen muchos teoremas conocidos como teoremas espectrales , pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.

Teorema espectral [ 7 ] — SeaA{\displaystyle A} sea ​​un operador autoadjunto acotado en un espacio de HilbertH{\displaystyle H}. Luego hay un espacio de medida(incógnita,Σ,μ){\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}y una función medible esencialmente acotada de valor realF{\displaystyle f}enincógnita{\displaystyle X}y un operador unitarioU:H→Lμ2(incógnita){\displaystyle U:H\to L_{\mu }^{2}(X)}de tal manera que U∗TU=A{\displaystyle U^{*}TU=A} donde T es el operador de multiplicación : [Tφ](incógnita)=F(incógnita)φ(incógnita).{\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).} y‖T‖=‖F‖∞{\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}.

Este es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría de operadores ; véase también la medida espectral .

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahoraF{\displaystyle f}pueden tener valores complejos.

Teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta fundamental en el análisis funcional. Permite extender los funcionales lineales acotados definidos en un subespacio de un espacio vectorial a todo el espacio, y también demuestra que existen suficientes funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normado como para que el estudio del espacio dual resulte interesante.

Teorema de Hahn-Banach: [ 8 ] — Sipag:V→R{\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }es una función sublineal yφ:U→R{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} }es un funcional lineal en un subespacio linealU⊆V{\displaystyle U\subsetequ V}que está dominado porpag{\displaystyle p}enU{\displaystyle U}; eso es, φ(incógnita)≤pag(incógnita)∀incógnita∈U{\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U} entonces existe una extensión linealψ:V→R{\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} }deφ{\displaystyle \varphi }a todo el espacioV{\displaystyle V}que está dominado porpag{\displaystyle p}enV{\displaystyle V}; es decir, existe una función linealψ{\displaystyle \psi }de tal manera que ψ(incógnita)=φ(incógnita)∀incógnita∈U,ψ(incógnita)≤pag(incógnita)∀incógnita∈V.{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}}

Teorema de la aplicación abierta

El teorema de la aplicación abierta , también conocido como teorema de Banach-Schauder (nombrado en honor a Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo , entonces es una aplicación abierta . Más precisamente, [ 8 ]

Teorema de mapeo abierto — Siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son espacios Banach yA:incógnita→Y{\displaystyle A:X\to Y}es un operador lineal continuo sobreyectivo, entoncesA{\displaystyle A}es un mapa abierto (es decir, siU{\displaystyle U}es un conjunto abierto enincógnita{\displaystyle X}, entoncesA(U){\displaystyle A(U)}está abierto enY{\displaystyle Y}).

La demostración utiliza el teorema de la categoría de Baire y la completitud de ambos.incógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es verdadero si se supone que cualquiera de los espacios es un espacio normado , pero es verdadero siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}se consideran espacios de Fréchet .

Teorema del grafo cerrado

Teorema del grafo cerrado — Siincógnita{\displaystyle X}es un espacio vectorial topológico yY{\displaystyle Y}es un espacio vectorial topológico de Hausdorff compacto , entonces la gráfica de un mapa linealT{\displaystyle T}deincógnita{\displaystyle X}aY{\displaystyle Y}está cerrado si y solo siT{\displaystyle T}es continuo . [ 9 ]

Otros temas

Consideraciones fundamentales de las matemáticas

La mayoría de los espacios considerados en el análisis funcional tienen dimensión infinita. Para demostrar la existencia de una base de espacio vectorial para dichos espacios, puede ser necesario el lema de Zorn . Sin embargo, un concepto algo diferente, la base de Schauder , suele ser más relevante en el análisis funcional. Muchos teoremas requieren el teorema de Hahn-Banach , que generalmente se demuestra utilizando el axioma de elección , aunque el teorema del ideal primo booleano, estrictamente más débil, es suficiente. El teorema de la categoría de Baire , necesario para demostrar muchos teoremas importantes, también requiere una forma de axioma de elección.

Puntos de vista

El análisis funcional incluye las siguientes tendencias:

Véase también

Referencias

  1. ↑ Lawvere, F. William. "Funcionales de Volterra y cohesión covariante del espacio" (PDF) . acsu.buffalo.edu . Actas de la reunión de mayo de 1997 en Perugia. Archivado del original (PDF) el 7 de abril de 2003. Consultado el 12 de junio de 2018 .
  2. ↑ Saraiva, Luís (octubre de 2004). Historia de las Ciencias Matemáticas . CIENTÍFICO MUNDIAL. pag. 195.doi : 10.1142 /5685 . ISBN  978-93-86279-16-3.
  3. ↑ Bowers, Adam; Kalton, Nigel J. (2014). Un curso introductorio de análisis funcional . Springer . pág. 1. 
  4. ↑ Cadetes, Vladimir (2018). Un curso de análisis funcional y teoría de medidas [ КУРС ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА ] . Saltador . págs. xvi. 
  5. ↑ Riesz, Frigyes (1990). Análisis funcional . Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron (Dover ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 195-199 . ISBN   0-486-66289-6OCLC 21228994​​ 
  6. ↑ Rynne, Bryan; Youngson, Martin A. (29 de diciembre de 2007). Análisis funcional lineal . Springer . Recuperado el 30 de diciembre de 2023 .
  7. ↑ Hall, Brian C. (19 de junio de 2013). Teoría cuántica para matemáticos . Springer Science & Business Media . pág. 147. ISBN  978-1-4614-7116-5.
  8. 1 2 Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
  9. ↑ Munkres, James R. (2000). Topología . Prentice Hall, Incorporated. pág. 171. ISBN  978-0-13-181629-9.

Lecturas adicionales

  • Aliprantis, CD, Border, KC: Análisis de dimensión infinita: Guía del autoestopista , 3.ª ed., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0. DOI en línea : 10.1007/3-540-29587-9 (mediante suscripción)
  • Bachman, G., Narici, L.: Análisis funcional , Academic Press, 1966. (reimpresión de Dover Publications)
  • Banach S. Teoría de las operaciones lineales . Archivado el 28/10/2021 en Wayback Machine . Volumen 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, ISBN 0-444-70184-2
  • Brezis, H .: Analizar Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9o ISBN 978-2-10-049336-4
  • Conway, JB : Un curso de análisis funcional , 2.ª edición, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
  • Dunford, N. y Schwartz, JT : Operadores lineales, teoría general, John Wiley & Sons , y otros 3 volúmenes, incluye diagramas de visualización.
  • Edwards, RE: Análisis funcional, teoría y aplicaciones , Hold, Rinehart and Winston, 1965.
  • Eidelman, Yuli, Vitali Milman y Antonis Tsolomitis: Análisis funcional: una introducción , Sociedad Matemática Americana, 2004.
  • Friedman, A .: Fundamentos del análisis moderno , Dover Publications, edición de bolsillo, 21 de julio de 2010.
  • Giles, JR: Introducción al análisis de espacios lineales normados , Cambridge University Press, 2000
  • Hirsch F., Lacombe G. - "Elementos de análisis funcional", Springer 1999.
  • Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Aplicaciones del análisis funcional y la teoría de operadores , 2.ª edición, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
  • Kantorovitz, S., Introducción al análisis moderno , Oxford University Press, 2003, 2ª ed. 2006.
  • Kolmogorov, AN y Fomin, SV : Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional , Dover Publications, 1999
  • Kreyszig, E. : Análisis funcional introductorio con aplicaciones , Wiley, 1989.
  • Lax, P .: Análisis funcional , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1
  • Lebedev, LP y Vorovich, II: Análisis funcional en mecánica , Springer-Verlag, 2002
  • Michel, Anthony N. y Charles J. Herget: Álgebra aplicada y análisis funcional , Dover, 1993.
  • Pietsch, Albrecht: Historia de los espacios de Banach y los operadores lineales , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6
  • Reed, M. , Simon, B. : "Análisis funcional", Academic Press 1980.
  • Riesz, F. y Sz.-Nagy, B.: Análisis funcional , Dover Publications, 1990
  • Rudin, W .: Análisis funcional , McGraw-Hill Science, 1991
  • Saxe, Karen: Introducción al análisis funcional , Springer, 2001
  • Schechter, M.: Principios de análisis funcional , AMS, 2.ª edición, 2001
  • Shilov, Georgi E.: Análisis funcional elemental , Dover, 1996.
  • Sobolev, SL : Aplicaciones del análisis funcional en la física matemática , AMS, 1963
  • Vogt, D., Meise, R.: Introducción al análisis funcional , Oxford University Press, 1997.
  • Yosida, K .: Análisis funcional , Springer-Verlag, 6.ª edición, 1980