Grupo de renormalización funcional

En física teórica , el grupo de renormalización funcional ( FRG ) es una implementación del concepto de grupo de renormalización (RG) que se utiliza en la teoría cuántica y estadística de campos, especialmente al tratar con sistemas de interacción fuerte. El método combina métodos funcionales de la teoría cuántica de campos con la idea intuitiva del grupo de renormalización de Kenneth G. Wilson . Esta técnica permite la interpolación suave entre las leyes microscópicas conocidas y los complejos fenómenos macroscópicos en sistemas físicos. En este sentido, sirve de puente entre la simplicidad de la microfísica y la complejidad de la macrofísica. Metafóricamente hablando, el FRG actúa como un microscopio con resolución variable. Se parte de una imagen de alta resolución de las leyes microfísicas conocidas y posteriormente se disminuye la resolución para obtener una imagen de grano grueso de los fenómenos colectivos macroscópicos. El método es no perturbativo, lo que significa que no depende de una expansión en una pequeña constante de acoplamiento . Matemáticamente, el FRG se basa en una ecuación diferencial funcional exacta para una acción efectiva dependiente de la escala .

En la teoría cuántica de campos , la acción efectiva${\displaystyle \Gamma }$es un análogo del funcional de acción clásico${\displaystyle S}$y depende de los campos de una teoría dada. Incluye todas las fluctuaciones cuánticas y térmicas. Variación de${\displaystyle \Gamma }$produce ecuaciones de campo cuánticas exactas, por ejemplo para cosmología o la electrodinámica de los superconductores. Matemáticamente,${\displaystyle \Gamma }$es el funcional generador de los diagramas de Feynman irreducibles de una partícula . Física interesante, como propagadores y acoplamientos efectivos para interacciones, puede extraerse directamente de él. En una teoría de campos interactuantes genérica, la acción efectiva${\displaystyle \Gamma }$Sin embargo, es difícil de obtener. FRG proporciona una herramienta práctica para calcular${\displaystyle \Gamma }$empleando el concepto de grupo de renormalización .

El objeto central en FRG es una función de acción efectiva dependiente de la escala.${\displaystyle \Gamma _{k}}$A menudo se denomina acción promedio o acción fluida. La dependencia de la escala deslizante RG${\displaystyle k}$Se introduce mediante la adición de un regulador (corte infrarrojo).${\displaystyle R_{k}}$al propagador inverso completo${\displaystyle \Gamma _{k}^{(2)}}$En términos generales, el regulador${\displaystyle R_{k}}$desacopla los modos lentos con los momentos${\displaystyle q\lesssim k}$al darles una gran masa, mientras que los modos de alto momento no se ven afectados. Por lo tanto,${\displaystyle \Gamma _{k}}$incluye todas las fluctuaciones cuánticas y estadísticas con momentos${\displaystyle q\gtrsim k}$. La acción fluida${\displaystyle \Gamma _{k}}$obedece a la ecuación de flujo funcional exacta

${\displaystyle k\,\partial _{k}\Gamma _{k}={\frac {1}{2}}{\text{STr}}\,k\,\partial _{k}R_{k}\,(\Gamma _{k}^{(1,1)}+R_{k})^{-1},}$

derivado por Christof Wetterich y Tim R. Morris en 1993. Aquí${\displaystyle \partial _{k}}$denota una derivada con respecto a la escala RG.${\displaystyle k}$con valores fijos de los campos. Además,${\displaystyle \Gamma _ {k}^{(1,1)}}$denota la derivada funcional de${\displaystyle \Gamma _{k}}$del lado izquierdo y del lado derecho respectivamente, debido a la estructura tensorial de la ecuación. Esta característica se muestra a menudo simplificada por la segunda derivada de la acción efectiva. La ecuación diferencial funcional para${\displaystyle \Gamma _{k}}$debe complementarse con la condición inicial${\displaystyle \Gamma _{k\to \Lambda }=S}$, donde la "acción clásica"${\displaystyle S}$describe la física a escala ultravioleta microscópica${\displaystyle k=\Lambda }$Es importante destacar que, en el límite infrarrojo,${\displaystyle k\to 0}$la acción plena y efectiva${\displaystyle \Gamma =\Gamma _ {k\to 0}}$se obtiene. En la ecuación de Wetterich${\displaystyle {\text{STr}}}$denota una supertraza que suma sobre momentos, frecuencias, índices internos y campos (tomando bosones con un signo más y fermiones con un signo menos). La ecuación de flujo exacta para${\displaystyle \Gamma _{k}}$Tiene una estructura de un bucle. Esta es una simplificación importante en comparación con la teoría de perturbaciones , donde deben incluirse diagramas de múltiples bucles. La segunda derivada funcional${\displaystyle \Gamma _ {k}^{(2)}=\Gamma _ {k}^{(1,1)}}$es el propagador de campo inverso completo modificado por la presencia del regulador${\displaystyle R_{k}}$.

La evolución del grupo de renormalización de${\displaystyle \Gamma _{k}}$puede ilustrarse en el espacio de la teoría, que es un espacio multidimensional de todos los posibles acoplamientos en movimiento.${\displaystyle \{c_{n}\}}$permitido por las simetrías del problema. Como se muestra esquemáticamente en la figura, a escala ultravioleta microscópica${\displaystyle k=\Lambda }$Se comienza con la condición inicial.${\displaystyle \Gamma _{k=\Lambda }=S}$.

Como escala móvil${\displaystyle k}$se baja, la acción fluida${\displaystyle \Gamma _{k}}$evoluciona en el espacio teórico de acuerdo con la ecuación de flujo funcional. La elección del regulador${\displaystyle R_{k}}$no es único, lo que introduce cierta dependencia del esquema en el flujo del grupo de renormalización . Por esta razón, se utilizan diferentes opciones del regulador.${\displaystyle R_{k}}$corresponden a las diferentes trayectorias de la figura. A escala infrarroja${\displaystyle k=0}$Sin embargo, la acción efectiva completa${\displaystyle \Gamma _{k=0}=\Gamma }$se recupera para cada elección del punto de corte${\displaystyle R_{k}}$y todas las trayectorias se encuentran en el mismo punto en el espacio teórico.

En la mayoría de los casos de interés, la ecuación de Wetterich solo se puede resolver de forma aproximada. Normalmente, algún tipo de expansión de${\displaystyle \Gamma _{k}}$Se realiza un cálculo que luego se trunca en un orden finito, lo que da como resultado un sistema finito de ecuaciones diferenciales ordinarias. Se desarrollaron diferentes esquemas de expansión sistemática (como la expansión de derivadas, la expansión de vértices, etc.). La elección del esquema adecuado debe estar motivada físicamente y depende del problema en cuestión. Las expansiones no necesariamente involucran un parámetro pequeño (como una constante de acoplamiento de interacción ) y, por lo tanto, son, en general, de naturaleza no perturbativa.

Sin embargo, cabe señalar que, debido a las múltiples opciones relativas a las convenciones (prefactoriales) y a la definición concreta de la acción efectiva, se pueden encontrar otras versiones (equivalentes) de la ecuación de Wetterich en la literatura. ^{[ 1 ]}

• La ecuación de flujo de Wetterich es una ecuación exacta. Sin embargo, en la práctica, la ecuación diferencial funcional debe truncarse, es decir, debe proyectarse a funciones de unas pocas variables o incluso a algún espacio de subteoría de dimensión finita. Como en todo método no perturbativo, la cuestión de la estimación del error no es trivial en la renormalización funcional. Una forma de estimar el error en FRG es mejorar el truncamiento en pasos sucesivos, es decir, ampliar el espacio de subteoría incluyendo cada vez más acoplamientos variables. La diferencia en los flujos para diferentes truncamientos proporciona una buena estimación del error. Alternativamente, se pueden utilizar diferentes funciones reguladoras.${\displaystyle R_{k}}$En una truncación dada (fija), se determina la diferencia de los flujos RG en el infrarrojo para las respectivas opciones de regulador. Si se utiliza la bosonización, se puede comprobar la insensibilidad de los resultados finales con respecto a diferentes procedimientos de bosonización.
• En FRG, como en todos los métodos RG, se puede obtener mucha información sobre un sistema físico a partir de la topología de los flujos RG. Específicamente, la identificación de puntos fijos de la evolución del grupo de renormalización es de gran importancia. Cerca de los puntos fijos, el flujo de acoplamientos efectivos se detiene y RG${\displaystyle \beta }$Las funciones se aproximan a cero. La presencia de puntos fijos infrarrojos (parcialmente) estables está estrechamente relacionada con el concepto de universalidad . La universalidad se manifiesta en la observación de que algunos sistemas físicos muy distintos presentan el mismo comportamiento crítico. Por ejemplo, con bastante precisión, los exponentes críticos de la transición de fase líquido-gas en el agua y la transición de fase ferromagnética en los imanes son idénticos. En el lenguaje del grupo de renormalización, diferentes sistemas de la misma clase de universalidad convergen al mismo punto fijo infrarrojo (parcialmente) estable . De este modo, la macrofísica se independiza de los detalles microscópicos del modelo físico particular.
• En comparación con la teoría de perturbaciones , la renormalización funcional no hace una distinción estricta entre acoplamientos renormalizables y no renormalizables. Todos los acoplamientos transitorios permitidos por las simetrías del problema se generan durante el flujo FRG. Sin embargo, los acoplamientos no renormalizables se aproximan a puntos fijos parciales muy rápidamente durante la evolución hacia el infrarrojo, y por lo tanto el flujo colapsa efectivamente en una hipersuperficie de la dimensión dada por el número de acoplamientos renormalizables. Tener en cuenta los acoplamientos no renormalizables permite el estudio de características no universales que son sensibles a la elección concreta de la acción microscópica.${\displaystyle S}$y el límite ultravioleta finito${\displaystyle \Lambda }$.
• La ecuación de Wetterich se obtiene mediante la transformación de Legendre de la ecuación funcional de Polchinski, derivada por Joseph Polchinski en 1984. Sin embargo, el concepto de acción promedio efectiva, utilizado en FRG, resulta más intuitivo que la acción desnuda fluida de la ecuación de Polchinski. Además, el método FRG demostró ser más adecuado para cálculos prácticos.
• Típicamente, la física de baja energía de sistemas con interacciones fuertes se describe mediante grados de libertad macroscópicos (es decir, excitaciones de partículas) que son muy diferentes de los grados de libertad microscópicos de alta energía. Por ejemplo, la cromodinámica cuántica es una teoría de campos de quarks y gluones interactuantes. Sin embargo, a bajas energías, los grados de libertad adecuados son los bariones y mesones. Otro ejemplo es el problema de transición BEC/BCS en la física de la materia condensada . Si bien la teoría microscópica se define en términos de fermiones no relativistas de dos componentes, a bajas energías un dímero compuesto (partícula-partícula) se convierte en un grado de libertad adicional, y es recomendable incluirlo explícitamente en el modelo. Los grados de libertad compuestos de baja energía pueden introducirse en la descripción mediante el método de bosonización parcial ( transformación de Hubbard-Stratonovich ). Sin embargo, esta transformación se realiza una sola vez en la escala ultravioleta.${\displaystyle \Lambda }$En FRG se introdujo una forma más eficiente de incorporar grados de libertad macroscópicos, conocida como bosonización fluida o rebosonización. Con la ayuda de una transformación de campo dependiente de la escala, esto permite realizar la transformación de Hubbard-Stratonovich de forma continua en todas las escalas de RG.${\displaystyle k}$.

A diferencia de la ecuación de flujo para la acción efectiva, este esquema se formula para la interacción efectiva.

${\displaystyle {\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]=-\ln Z[G_{0}^{-1}\eta ,G_{0}^{-1}\eta ^{+}]-\eta G_{0}^{-1}\eta ^{+}}$

lo que genera vértices de interacción de n partículas, amputados por los propagadores desnudos.${\displaystyle G_{0}}$; ${\displaystyle Z[\eta ,\eta ^{+}]}$es el funcional generador "estándar" para las funciones de Green de n partículas.

El ordenamiento de Wick de la interacción efectiva con respecto a la función de Green${\displaystyle D}$puede definirse por

${\displaystyle {\mathcal {W}}[\eta ,\eta ^{+}]=\exp(-\Delta _{D}){\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]}$.

dónde${\displaystyle \Delta =D\delta ^{2}/(\delta \eta \delta \eta ^{+})}$es el laplaciano en el espacio de campos. Esta operación es similar al orden normal y excluye de la interacción todos los términos posibles, formados por una convolución de campos fuente con la función de Green D respectiva. Introduciendo algún corte${\displaystyle \Lambda }$la ecuación de Polchinskii

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \Lambda }}{{V}_{\Lambda }}(\psi )=-{{\dot {\Delta }}_{G_{0,\Lambda }}}{{V}_{\Lambda }}(\psi )+\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}}$

adopta la forma de la ecuación ordenada de Wick

${\displaystyle {\partial _{\Lambda }}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}=-{\Delta _{{{\dot {D}}_{\Lambda }}+{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}}}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}+{e^{-\Delta _{D_{\Lambda }}^{12}}}\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(2)}}$

dónde

${\displaystyle \Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}={\frac {1}{2}}\left({{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }},{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }}}\right)}$

El método se aplicó a numerosos problemas de física, por ejemplo:

• En la teoría estadística de campos , FRG proporcionó una imagen unificada de las transiciones de fase en la teoría lineal clásica.${\displaystyle O(N)}$-teorías escalares simétricas en diferentes dimensiones${\displaystyle d}$, incluyendo exponentes críticos para${\displaystyle d=3}$y la transición de fase de Berezinskii-Kosterlitz-Thouless para${\displaystyle d=2}$,${\displaystyle N=2}$.
• En la teoría cuántica de campos de gauge, la FRG se utilizó, por ejemplo, para investigar la transición de fase quiral y las propiedades infrarrojas de la QCD y sus extensiones de gran sabor.
• En física de la materia condensada , el método demostró ser eficaz para tratar modelos de red (por ejemplo, el modelo de Hubbard o sistemas magnéticos frustrados), gas de Bose repulsivo, transición BEC/BCS para gas de Fermi de dos componentes , efecto Kondo , sistemas desordenados y fenómenos de no equilibrio.
• La aplicación de la teoría de renormalización de la gravedad (FRG, por sus siglas en inglés) a la gravedad proporcionó argumentos a favor de la renormalizabilidad no perturbativa de la gravedad cuántica en cuatro dimensiones espaciotemporales, conocida como el escenario de seguridad asintótica .
• En física matemática, el método FRG se utilizó para demostrar la renormalizabilidad de diferentes teorías de campo.

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