Teorema de Hammersley-Clifford

El teorema de Hammersley-Clifford es un resultado de la teoría de la probabilidad , la estadística matemática y la mecánica estadística que proporciona condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una distribución de probabilidad estrictamente positiva puede representarse como eventos generados por una red de Markov (también conocida como campo aleatorio de Markov ). Es el teorema fundamental de los campos aleatorios . ^{[ 1 ]} Afirma que una distribución de probabilidad que tiene una masa o densidad estrictamente positiva satisface una de las propiedades de Markov con respecto a un grafo no dirigido G si y solo si es un campo aleatorio de Gibbs , es decir, su densidad puede factorizarse sobre las camarillas (o subgrafos completos ) del grafo.

La relación entre los campos aleatorios de Markov y Gibbs fue iniciada por Roland Dobrushin ^{[ 2 ]} y Frank Spitzer ^{[ 3 ]} en el contexto de la mecánica estadística . El teorema lleva el nombre de John Hammersley y Peter Clifford , quienes demostraron la equivalencia en un artículo inédito en 1971. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Demostraciones más sencillas utilizando el principio de inclusión-exclusión fueron dadas independientemente por Geoffrey Grimmett , ^{[ 6 ]} Preston ^{[ 7 ]} y Sherman ^{[ 8 ]} en 1973, con una demostración adicional por Julian Besag en 1974. ^{[ 9 ]}

Es trivial demostrar que un campo aleatorio de Gibbs satisface todas las propiedades de Markov . Como ejemplo de este hecho, véase lo siguiente:

En la imagen de la derecha, un campo aleatorio de Gibbs sobre el grafo proporcionado tiene la forma${\displaystyle \Pr(A,B,C,D,E,F)\propto f_{1}(A,B,D)f_{2}(A,C,D)f_{3}(C,D,F)f_{4}(C,E,F)}$. Si variables${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$Si son fijos, entonces la propiedad global de Markov requiere que:${\displaystyle A,B\perp E,F|C,D}$(véase independencia condicional ), ya que${\displaystyle C,D}$forma una barrera entre${\displaystyle A,B}$y${\displaystyle E,F}$.

Con${\displaystyle C}$y${\displaystyle D}$constante,${\displaystyle \Pr(A,B,E,F|C=c,D=d)\propto [f_{1}(A,B,d)f_{2}(A,c,d)]\cdot [f_{3}(c,d,F)f_{4}(c,E,F)]=g_{1}(A,B)g_{2}(E,F)}$dónde${\displaystyle g_{1}(A,B)=f_{1}(A,B,d)f_{2}(A,c,d)}$y${\displaystyle g_{2}(E,F)=f_{3}(c,d,F)f_{4}(c,E,F)}$Esto implica que${\displaystyle A,B\perp E,F|C,D}$.

Para establecer que toda distribución de probabilidad positiva que satisface la propiedad de Markov local es también un campo aleatorio de Gibbs, es necesario demostrar el siguiente lema, que proporciona un medio para combinar diferentes factorizaciones:

Lema 1

Dejar${\displaystyle U}$denotemos el conjunto de todas las variables aleatorias en consideración, y sea${\displaystyle \Theta ,\Phi _{1},\Phi _{2},\dots ,\Phi _{n}\subseteq U}$y${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\dots ,\Psi _{m}\subseteq U}$denotan conjuntos arbitrarios de variables. (Aquí, dado un conjunto arbitrario de variables${\displaystyle X}$,${\displaystyle X}$también denotará una asignación arbitraria a las variables de${\displaystyle X}$.)

Si

${\displaystyle \Pr(U)=f(\Theta )\prod _{i=1}^{n}g_{i}(\Phi _{i})=\prod _{j=1}^{m}h_{j}(\Psi _{j})}$

para funciones${\displaystyle f,g_{1},g_{2},\dots g_{n}}$y${\displaystyle h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}}$, entonces existen funciones${\displaystyle h'_{1},h'_{2},\dots ,h'_{m}}$y${\displaystyle g'_{1},g'_{2},\dots ,g'_{n}}$de tal manera que

${\displaystyle \Pr(U)={\bigg (}\prod _{j=1}^{m}h'_{j}(\Theta \cap \Psi _{j}){\bigg )}{\bigg (}\prod _{i=1}^{n}g'_{i}(\Phi _{i}){\bigg )}}$

En otras palabras,${\displaystyle \prod _{j=1}^{m}h_{j}(\Psi _{j})}$proporciona una plantilla para una mayor factorización de${\displaystyle f(\Theta )}$.

El lema 1 proporciona un medio para combinar dos factorizaciones diferentes de${\displaystyle \Pr(U)}$La propiedad de Markov local implica que para cualquier variable aleatoria${\displaystyle x\in U}$que existen factores${\displaystyle f_{x}}$y${\displaystyle f_{-x}}$de tal manera que:

${\displaystyle \Pr(U)=f_{x}(x,\partial x)f_{-x}(U\setminus \{x\})}$

dónde${\displaystyle \partial x}$son los vecinos del nodo${\displaystyle x}$. Aplicando el Lema 1 repetidamente, eventualmente se producen factores${\displaystyle \Pr(U)}$en un producto de potenciales de camarilla (ver la imagen de la derecha).

Fin de la demostración

• campo aleatorio de Markov
• Campo aleatorio condicional

• Grimmett, Geoffrey (2018), "7.", Probabilidad en grafos (2.ª  ed.), Cambridge University Press, ISBN 9781108438179
• Langseth, Helge, El teorema de Hammersley - Clifford y su impacto en la estadística moderna (PDF) , Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad Noruega de Ciencia y Tecnología.