Transformación funk

En el campo matemático de la geometría integral , la transformada de Funk (también conocida como transformada de Minkowski-Funk , transformada de Funk-Radon o transformada de Radon esférica ) es una transformada integral definida mediante la integración de una función en los círculos máximos de la esfera . Fue introducida por Paul Funk en 1911, basándose en el trabajo de Minkowski (1904) . Está estrechamente relacionada con la transformada de Radon . La motivación original para estudiar la transformada de Funk fue describir las métricas de Zoll en la esfera.

Definición

La transformada de Funk se define de la siguiente manera. Sea ƒ una función continua en la esfera d-1 S ^d-1 en R ^d . Entonces, para un vector unitario x , sea

Ff(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {u} \in C(\mathbf {x} )}f(\mathbf {u} )\,ds(\mathbf {u} )

donde la integral se realiza con respecto a la longitud de arco ds del círculo máximo C ( x ) que consta de todos los vectores unitarios perpendiculares a x :

C(\mathbf {x} )=\{\mathbf {u} \in S^{d-1}\mid \mathbf {u} \cdot \mathbf {x} =0\}.

Inversión

La transformada de Funk anula todas las funciones impares , por lo que es natural limitar la atención al caso en que ƒ es par. En ese caso, la transformada de Funk transforma las funciones pares (continuas) en funciones pares continuas y, además, es invertible.

Armónicos esféricos

Toda función de cuadrado integrable $f\in L^{2}(S^{2})$ en la esfera se puede descomponer en armónicos esféricos $Y_{n}^{k}$

f=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(n,k)Y_{n}^{k}.

Entonces la transformada Funk de f se lee

Ff=\sum _ {n=0}^{\infty }\sum _ {k=-n}^{n}P_ {n}(0){\hat {f}}(n,k)Y_ {n}^{k}

dónde $P_{2n+1}(0)=0$ para valores impares y

P_{2n}(0)=(-1)^{n}\,{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}}=(-1)^{n}\,{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}

para valores pares. Este resultado fue demostrado por Funk (1913) .

Fórmula de inversión de Helgason

Otra fórmula de inversión se debe a Helgason (1999) . Al igual que con la transformada de Radon, la fórmula de inversión se basa en la transformada dual F * definida por

(F^{*}f)(p,\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi \cos p}}\int _{\|\mathbf {u} \|=1,\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} =\sin p}f(\mathbf {u} )\,|d\mathbf {u} |.

Este es el valor promedio de la función circular ƒ sobre círculos de distancia de arco p desde el punto x . La transformada inversa viene dada por

f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\left\{{\frac {d}{du}}\int _{0}^{u}F^{*}(Ff)(\cos ^{-1}v,\mathbf {x} )v(u^{2}-v^{2})^{-1/2}\,dv\right\}_{u=1}.

Generalización

La formulación clásica es invariante bajo el grupo de rotación SO(3) . También es posible formular la transformada de Funk de manera que sea invariante bajo el grupo lineal especial SL(3, R ) ( Bailey et al. 2003 ) . Supongamos que ƒ es una función homogénea de grado −2 en R³ . Entonces, para vectores linealmente independientes x e y , definimos una función φ mediante la integral de línea ^.

\varphi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\frac {1}{2\pi }}\oint f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)

tomada sobre una curva cerrada simple que rodea el origen una vez. La forma diferencial

f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)

es cerrado , lo cual se deduce de la homogeneidad de ƒ . Mediante un cambio de variables , φ satisface

\phi (a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,c\mathbf {x} +d\mathbf {y} )={\frac {1}{|ad-bc|}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),

y así da una función homogénea de grado − 1 en el cuadrado exterior de R ³ ,

Ff(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).

La función F ƒ : Λ ²R ³ → R coincide con la transformada de Funk cuando ƒ es la extensión homogénea de grado − 2 de una función en la esfera y el espacio proyectivo asociado a Λ ²R ³ se identifica con el espacio de todos los círculos en la esfera. Alternativamente, Λ ²R ³ puede identificarse con R ³ de manera invariante SL(3, R ), y así la transformada de Funk F mapea funciones homogéneas pares suaves de grado − 2 en R ³ \{0} a funciones homogéneas pares suaves de grado − 1 en R ³ \{0}.

Aplicaciones

La transformada de Funk-Radon se utiliza en el método Q-Ball para resonancia magnética de difusión introducido por Tuch (2004) . También está relacionada con cuerpos de intersección en geometría convexa. Sea $K\subset \mathbb {R} ^{d}$ ser un cuerpo estelar con función radial $\rho _{K}({\boldsymbol {x}})=\max\{t:t{\boldsymbol {x}}\in K\},$ $x\in S^{d-1}$ Entonces, el cuerpo de intersección IK de K tiene la función radial $\rho _{IK}=F\rho _{K}$ ( Gardner 2006 , p. 305) .

Véase también

Referencias

Bailey, TN; Eastwood, Michael G.; Gover, A. Rod; Mason, LJ (2003), "Análisis complejo y la transformada de Funk" (PDF) , Journal of the Korean Mathematical Society , 40 (4): 577–593 , doi : 10.4134/JKMS.2003.40.4.577 , MR 1995065 , archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016 , recuperado el 19 de junio de 2009.
Dann, Susanna (2010), Sobre la transformada de Minkowski-Funk , arXiv : 1003.5565 , Bibcode : 2010arXiv1003.5565D
Funk, Paul (1913), "Über Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien" , Mathematische Annalen , 74 (2): 278– 300, doi : 10.1007/BF01456044.
Funk, Paul (1915), "Über eine geometrische Anwendung der Abelschen Integralgleichung" , Mathematische Annalen , 77 (1): 129– 135, doi : 10.1007/BF01456824 , MR 1511851 .
Guillemin, Victor (1976), "La transformada de Radon en superficies de Zoll", Advances in Mathematics , 22 (1): 85–119 , doi : 10.1016/0001-8708(76)90139-0 , MR 0426063 .
Helgason, Sigurdur (1999), La transformada de Radon , Progress in Mathematics, vol. 5 (2.ª ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4109-2, MR 1723736 .
Minkowski, Hermann ( 1904), "Sobre cuerpos de anchura constante", Mathematics Sbornik , 25 : 505–508
Tuch, David S. (2004). "Q-Ball imaging". Magn. Reson. Med . 52 (6): 1358– 1372. doi : 10.1002/mrm.20279 . PMID 15562495 .
Gardner, Richard J. (2006), Tomografía geométrica , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86680-4