matemáticas difusas

Las matemáticas difusas son una rama de las matemáticas que extiende la teoría de conjuntos clásica y la lógica para modelar el razonamiento bajo incertidumbre. Iniciado por Lotfi Asker Zadeh en 1965 con la introducción de los conjuntos difusos, ^{[ 1 ]} el campo ha evolucionado desde entonces para incluir la teoría de conjuntos difusos , la lógica difusa y varios análogos difusos de estructuras matemáticas tradicionales .

A diferencia de las matemáticas clásicas, que generalmente se basan en la pertenencia binaria (un elemento pertenece a un conjunto o no), las matemáticas difusas permiten que los elementos pertenezcan parcialmente a un conjunto, con grados de pertenencia representados por valores en el intervalo [0, 1]. Este marco permite un modelado más flexible de conceptos imprecisos o vagos.

Las matemáticas difusas han encontrado aplicaciones en numerosos ámbitos, como la teoría de control , la inteligencia artificial , la teoría de la decisión , el reconocimiento de patrones y la lingüística , donde el modelado de gradaciones e incertidumbre es esencial.

Un subconjunto difuso A de un conjunto X se define mediante una función A : X → L , donde L es típicamente el intervalo [0, 1]. Esta función se denomina función de pertenencia del subconjunto difuso y asigna a cada elemento x en X un grado de pertenencia A ( x ) en el conjunto difuso A .

En la teoría clásica de conjuntos, un subconjunto de X puede representarse mediante una función indicadora (también conocida como función característica ), que asigna a los elementos los valores 0 o 1, indicando respectivamente la no pertenencia o la pertenencia total. Los subconjuntos difusos generalizan este concepto al permitir cualquier valor real entre 0 y 1, posibilitando así la pertenencia parcial.

De manera más general, el codominio L de la función de pertenencia puede reemplazarse con cualquier retículo completo , lo que da como resultado el marco más amplio de conjuntos L-difusos . ^{[ 2 ]}

El desarrollo de la difusificación en matemáticas se puede dividir a grandes rasgos en tres etapas históricas: ^{[ 3 ]}

1. Fuzzificaciones iniciales y sencillas (décadas de 1960-1970),
2. Expansión de las técnicas de generalización (década de 1980),
3. Estandarización, axiomatización y L -difuminación (década de 1990).

La fuzzificación generalmente implica extender conceptos matemáticos clásicos de la lógica binaria (nítida), donde la pertenencia se determina mediante funciones características, a la lógica difusa, donde la pertenencia se expresa mediante valores en el intervalo [0, 1] a través de funciones de pertenencia.

Sean A y B subconjuntos difusos de un conjunto X. Las versiones difusas de las operaciones de la teoría de conjuntos se definen comúnmente como:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=\min(A(x),B(x))}$$$${\displaystyle (A\cup B)(x)=\max(A(x),B(x))}$$

a pesar de${\displaystyle x\in X}$Estas operaciones pueden generalizarse utilizando t-normas y t-conormas , respectivamente. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, la operación de mínimo puede reemplazarse por la multiplicación:

$${\displaystyle (A\cap B)(x)=A(x)\cdot B(x)}$$

La difusificación de estructuras algebraicas a menudo se basa en generalizar la propiedad de cierre . Sea${\displaystyle *}$Sea X una operación binaria sobre X , y sea A un subconjunto difuso de X. Entonces se dice que A satisface el cierre difuso si:

$${\displaystyle A(x*y)\geq \min(A(x),A(y))}$$ a pesar de${\displaystyle x,y\in X}$.

Si${\displaystyle (G,*)}$Si G es un grupo , entonces un subconjunto difuso A de G es un subgrupo difuso si:

$${\displaystyle A(x*y^{-1})\geq \min(A(x),A(y^{-1}))}$$ a pesar de${\displaystyle x,y\in G}$.

Generalizaciones similares se aplican a las propiedades relacionales. Por ejemplo, por ejemplo, para la difusificación de la propiedad de transitividad , una relación difusa${\displaystyle R}$en${\displaystyle X}$(es decir, un subconjunto difuso de${\displaystyle X\times X}$) se dice que es transitivo difuso si:

$${\displaystyle R(x,z)\geq \min(R(x,y),R(y,z))}$$ a pesar de${\displaystyle x,y,z\in X}$.

Los subgrupoides difusos y los subgrupos difusos fueron introducidos en 1971 por A. Rosenfeld. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Se han traducido análogos de otras materias matemáticas a las matemáticas difusas, como la teoría de campos difusos y la teoría de Galois difusa , ^{[ 8 ]} la topología difusa, ^{[ 9 ] [ 10 ]} la geometría difusa, ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} los ordenamientos difusos, ^{[ 15 ]} y los grafos difusos. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• teoría de la medida difusa
• subálgebra difusa
• Lógica t-norma monoide
• Teoría de la posibilidad
• Norma T

• Zadeh, LA Lógica difusa - artículo en Scholarpedia
• Hajek, P. Lógica difusa - artículo en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• Navara, M. Normas y conormas triangulares - artículo en Scholarpedia
• Dubois, D., Prade H. Teoría de la posibilidad - artículo en Scholarpedia
• Centro de Matemáticas de la Incertidumbre - Investigación en Matemáticas Difusas - Archivado el 29/06/2009 en Wayback Machine - Sitio web alojado en la Universidad de Creighton
• Tomando, R.Libro sobre la historia de la teoría matemática de conjuntos difusos: La difusificación de sistemas. La génesis de la teoría de conjuntos difusos y sus aplicaciones iniciales: desarrollos hasta la década de 1970 (Estudios sobre la imprecisión y la computación blanda, vol. 216). Berlín, Nueva York, [et al.]: Springer, 2007.