Función de pertenencia (matemáticas)

En matemáticas , la función de pertenencia de un conjunto difuso es una generalización de la función indicadora para conjuntos clásicos . En lógica difusa , representa el grado de verdad como una extensión de la valuación . Los grados de verdad a menudo se confunden con probabilidades , aunque son conceptualmente distintos, porque la verdad difusa representa la pertenencia a conjuntos vagamente definidos, no la probabilidad de algún evento o condición. Las funciones de pertenencia fueron introducidas por Aliasker Zadeh en el primer artículo sobre conjuntos difusos (1965). Aliasker Zadeh, en su teoría de conjuntos difusos, propuso usar una función de pertenencia (con un rango que cubre el intervalo (0,1)) que opera en el dominio de todos los valores posibles.

Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, una función de membresía en${\displaystyle X}$es cualquier función de${\displaystyle X}$al intervalo unitario real${\displaystyle [0,1]}$.

Las funciones de pertenencia representan subconjuntos difusos de${\displaystyle X}$La función de pertenencia que representa un conjunto difuso${\displaystyle {\tilde {A}}}$se suele denotar por${\displaystyle \mu _{A}.}$Para un elemento${\displaystyle x}$de${\displaystyle X}$, el valor${\displaystyle \mu _{A}(x)}$se denomina grado de pertenencia a${\displaystyle x}$en el conjunto difuso${\displaystyle {\tilde {A}}.}$El grado de membresía${\displaystyle \mu _{A}(x)}$cuantifica el grado de pertenencia al elemento${\displaystyle x}$al conjunto difuso${\displaystyle {\tilde {A}}.}$El valor 0 significa que${\displaystyle x}$no es un miembro del conjunto difuso; el valor 1 significa que${\displaystyle x}$es un miembro completo del conjunto difuso. Los valores entre 0 y 1 caracterizan a los miembros difusos, que pertenecen al conjunto difuso solo parcialmente.

A veces, ^{[ 1 ]} se utiliza una definición más general, donde las funciones de pertenencia toman valores en un álgebra o estructura fija arbitraria.${\displaystyle L}$; normalmente se requiere que${\displaystyle L}$debe ser al menos un conjunto parcialmente ordenado o una retícula . Las funciones de pertenencia habituales con valores en [0,  1] se denominan entonces  funciones de pertenencia con valores en [0, 1].

Una aplicación de las funciones de pertenencia es como capacidades en la teoría de la decisión .

En la teoría de la decisión , una capacidad se define como una función,${\displaystyle \nu }$desde S , el conjunto de subconjuntos de algún conjunto, en${\displaystyle [0,1]}$, de tal manera que${\displaystyle \nu }$es monótono por conjuntos y está normalizado (es decir,${\displaystyle \nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1).}$ Esta es una generalización de la noción de medida de probabilidad , donde se debilita el axioma de probabilidad de aditividad contable. Se utiliza una capacidad como medida subjetiva de la probabilidad de un evento, y el " valor esperado " de un resultado dada una determinada capacidad se puede hallar calculando la integral de Choquet sobre dicha capacidad.

• Desborrosificación
• teoría de la medida difusa
• operaciones de conjuntos difusos
• Juego de piezas en bruto

• Zadeh LA, 1965, "Conjuntos difusos". Información y control 8 : 338–353.
• Goguen JA, 1967, " Conjuntos L -difusos". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18 : 145–174

• Procesamiento de imágenes difusas