Esfera difusa

En matemáticas , la esfera difusa es uno de los ejemplos más simples y canónicos de geometría no conmutativa . Normalmente, las funciones definidas en una esfera forman un álgebra conmutativa. Una esfera difusa se diferencia de una esfera ordinaria porque el álgebra de funciones en ella no es conmutativa. Está generada por armónicos esféricos cuyo espín l es como máximo igual a algún j . Los términos en el producto de dos armónicos esféricos que involucran armónicos esféricos con espín mayor que j simplemente se omiten en el producto. Esta truncación reemplaza un álgebra conmutativa de dimensión infinita por una${\displaystyle j^{2}}$Álgebra no conmutativa de dimensión .

La forma más sencilla de ver esta esfera es realizar esta álgebra truncada de funciones como un álgebra matricial en algún espacio vectorial de dimensión finita . Tomemos las tres matrices cuadradas j -dimensionales.${\displaystyle J_{a},~a=1,2,3}$que forman una base para la representación irreducible j- dimensional del álgebra de Lie su(2) . Satisfacen las relaciones${\displaystyle [J_{a},J_{b}]=i\epsilon _{abc}J_{c}}$, dónde${\displaystyle \epsilon _ {abc}}$es el símbolo totalmente antisimétrico con${\displaystyle \epsilon _{123}=1}$y generar mediante el producto matricial el álgebra${\displaystyle M_{j}}$de matrices de j dimensiones. El valor del operador de Casimir su(2) en esta representación es

${\displaystyle J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}={\frac {1}{4}}(j^{2}-1)I}$

dónde${\displaystyle I}$es la matriz identidad j -dimensional . Por lo tanto, si definimos las 'coordenadas' ${\displaystyle x_{a}=kr^{-1}J_{a}}$ donde r es el radio de la esfera y k es un parámetro, relacionado con r y j por${\displaystyle 4r^{4}=k^{2}(j^{2}-1)}$, entonces la ecuación anterior relativa al operador de Casimir se puede reescribir como

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}}$,

que es la relación habitual para las coordenadas en una esfera de radio r incrustada en un espacio tridimensional.

Se puede definir una integral en este espacio, por

${\displaystyle \int _{S^{2}}fd\Omega$ :=2\pi k\,{\text{Tr}}(F)}

donde F es la matriz correspondiente a la función f . Por ejemplo, la integral de la unidad, que da la superficie de la esfera en el caso conmutativo, es aquí igual a

${\displaystyle 2\pi k\,{\text{Tr}}(I)=2\pi kj=4\pi r^{2}{\frac {j}{\sqrt {j^{2}-1}}}}$

que converge al valor de la superficie de la esfera si se toma j al infinito.

• Jens Hoppe, "Membranas y modelos matriciales", conferencias presentadas durante la escuela de verano sobre "Teoría cuántica de campos: desde un punto de vista hamiltoniano", del 2 al 9 de agosto de 2000, arXiv : hep-th/0206192
• John Madore, Introducción a la geometría diferencial no conmutativa y sus aplicaciones físicas , Serie de apuntes de clase de la Sociedad Matemática de Londres, 257, Cambridge University Press, 2002.

J. Hoppe, Teoría cuántica de una superficie relativista sin masa y un problema de estado ligado bidimensional. Tesis doctoral, Instituto Tecnológico de Massachusetts, 1982.