esfera simplicial

En geometría y combinatoria , una d -esfera simplicial (o combinatoria ) es un complejo simplicial homeomorfo a la esfera d- dimensional . Algunas esferas simpliciales surgen como límites de politopos convexos ; sin embargo, en dimensiones superiores, la mayoría de las esferas simpliciales no pueden obtenerse de esta manera.

Un problema abierto importante en el campo era la g-conjetura , formulada por Peter McMullen , que pregunta sobre el número posible de caras de diferentes dimensiones de una esfera simplicial. En diciembre de 2018, Karim Adiprasito demostró la g-conjetura en el contexto más general de las esferas de homología racional. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Para cualquier n ≥ 3, el ciclo simple n C _n es un círculo simplicial , es decir, una esfera simplicial de dimensión 1. Esta construcción produce todos los círculos simpliciales.
• El límite de un poliedro convexo en R ³ con caras triangulares, como un octaedro o un icosaedro , es una 2-esfera simplicial.
• De forma más general, el límite de cualquier politopo convexo simplicial compacto (o acotado ) de dimensión ( d +1) en el espacio euclidiano es una d -esfera simplicial.

De la fórmula de Euler se deduce que cualquier 2-esfera simplicial con n vértices tiene 3n − 6 aristas y 2n − 4 caras. El caso de n = 4 se realiza mediante el tetraedro. Al realizar repetidamente la subdivisión baricéntrica , es fácil construir una esfera simplicial para cualquier n ≥ 4. Además, Ernst Steinitz dio una caracterización de los 1-esqueletos (o grafos de aristas) de politopos convexos en R3 ^, lo que implica que cualquier 2-esfera simplicial es un límite de un politopo convexo.

Branko Grünbaum construyó un ejemplo de esfera simplicial no politópica (es decir, una esfera simplicial que no es el borde de un politopo). Gil Kalai demostró que, de hecho, la mayoría de las esferas simpliciales son no politópicas. El ejemplo más pequeño tiene una dimensión d = 4 y f ₀ = 8 vértices.

El teorema del límite superior proporciona límites superiores para el número de caras f _i de cualquier d- esfera simplicial con f ₀ = n vértices. Esta conjetura fue demostrada para politopos convexos simpliciales por Peter McMullen en 1970 ^{[ 3 ]} y por Richard Stanley para esferas simpliciales generales en 1975.

La conjetura g , formulada por McMullen en 1970, solicita una caracterización completa de los f -vectores de las d- esferas simpliciales . En otras palabras, ¿cuáles son las posibles secuencias de números de caras de cada dimensión para una d -esfera simplicial? En el caso de las esferas politopales, la respuesta la proporciona el teorema g , demostrado en 1979 por Billera y Lee (existencia) y Stanley (necesidad). Se ha conjeturado que las mismas condiciones son necesarias para las esferas simpliciales generales. La conjetura fue demostrada por Karim Adiprasito en diciembre de 2018. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• ecuaciones de Dehn-Sommerville

• Stanley, Richard (1996). Combinatoria y álgebra conmutativa . Progress in Mathematics. Vol.  41 (Segunda  edición). Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3836-9.