Estructura G2 ​

En geometría diferencial , un${\displaystyle G_{2}}$-estructura es un tipo importante de G-estructura que se puede definir en una variedad lisa . Si M es una variedad lisa de dimensión siete, entonces una G ₂ -estructura es una reducción del grupo de estructura del fibrado de marcos de M al grupo de Lie compacto y excepcional G ₂ .

La existencia de un${\displaystyle G_{2}}$estructura en un colector de 7${\displaystyle M}$es equivalente a cualquiera de las siguientes condiciones:

• Las clases primera y segunda de Stiefel-Whitney de M desaparecen.
• M es orientable y admite una estructura de espín .

De ello se deduce que la existencia de un ${\displaystyle G_{2}}$La estructura es mucho más débil que la existencia de una métrica de holonomía.${\displaystyle G_{2}}$, porque una 7-variedad compacta de holonomía${\displaystyle G_{2}}$También debe tener un grupo fundamental finito y una primera clase de Pontrjagin no nula .

El hecho de que pueda haber ciertas 7-variedades riemannianas de holonomía${\displaystyle G_{2}}$La idea fue sugerida por primera vez por Marcel Berger en su clasificación de 1955 de posibles grupos de holonomía riemanniana. Aunque seguía trabajando en completa ausencia de ejemplos, Edmond Bonan siguió adelante en 1966 e investigó las propiedades de una variedad de holonomía.${\displaystyle G_{2}}$necesariamente lo habría hecho; en particular, demostró que tal variedad llevaría una 3-forma paralela y una 4-forma paralela, y que la variedad sería necesariamente Ricci-plana. ^{[ 1 ]} Sin embargo, no quedó claro si tales métricas existían realmente hasta que Robert Bryant demostró un teorema de existencia local para tales métricas en 1984. Las primeras 7-variedades completas (aunque no compactas) con holonomía${\displaystyle G_{2}}$fueron construidas por Bryant y Simon Salamon en 1989. ^{[ 2 ]} Las primeras 7-variedades compactas con holonomía${\displaystyle G_{2}}$fueron construidos por Dominic Joyce en 1994 y compactos${\displaystyle G_{2}}$Las variedades a veces se conocen como "variedades de Joyce", especialmente en la literatura de física. ^{[ 3 ]} En 2013, M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho y Sema Salur demostraron que cualquier variedad con una estructura de espín y, por lo tanto, una${\displaystyle G_{2}}$-estructura, admite una estructura métrica casi de contacto compatible, y se construyó una estructura casi de contacto compatible explícita para variedades con${\displaystyle G_{2}}$-estructura. ^{[ 4 ]} En el mismo artículo, se demostró que ciertas clases de${\displaystyle G_{2}}$-las variedades admiten una estructura de contacto .

La propiedad de ser un${\displaystyle G_{2}}$-la variedad es mucho más fuerte que la de admitir una${\displaystyle G_{2}}$-estructura. De hecho, ser una${\displaystyle G_{2}}$-variedad es equivalente a admitir una${\displaystyle G_{2}}$-estructura libre de torsión .

La letra "G" que aparece en las frases "estructura G" y "${\displaystyle G_{2}}$-estructura" se refiere a diferentes cosas. En el primer caso, las G-estructuras toman su nombre del hecho de que los grupos de Lie arbitrarios se denotan típicamente con la letra "G". Por otro lado, la letra "G" en "${\displaystyle G_{2}}$" proviene del hecho de que su álgebra de Lie es el séptimo tipo ("G" es la séptima letra del alfabeto) en la clasificación de álgebras de Lie simples complejas de Élie Cartan .

• G ₂ , variedad G ₂ , variedad Spin(7)

• Bryant, RL (1987), "Métricas con holonomía excepcional", Annals of Mathematics , 126 (2): 525– 576, doi : 10.2307/1971360 , JSTOR 1971360 .