átomo de Gabor

En matemáticas aplicadas , los átomos de Gabor , o funciones de Gabor , son funciones utilizadas en el análisis propuesto por Dennis Gabor en 1946, en el que se construye una familia de funciones a partir de traslaciones y modulaciones de una función generadora.

En 1946, ^{[ 1 ]} Dennis Gabor sugirió la idea de utilizar un sistema granular para producir sonido . En su trabajo, Gabor analizó los problemas del análisis de Fourier . Si bien consideró que las matemáticas eran correctas, no reflejaban el comportamiento del sonido en el mundo, ya que los sonidos, como el de una sirena , tienen frecuencias variables en el tiempo. Otro problema era la suposición subyacente, como cuando usamos el análisis de ondas sinusoidales, de que la señal en cuestión tiene una duración infinita, aunque los sonidos en la vida real tienen una duración limitada (véase el análisis tiempo-frecuencia) . Gabor aplicó ideas de la física cuántica al sonido, lo que permitió una analogía entre el sonido y los cuantos. Propuso un método matemático para reducir el análisis de Fourier a celdas. Su investigación se centró en la transmisión de información a través de canales de comunicación. Gabor vio en sus átomos la posibilidad de transmitir la misma información, pero utilizando menos datos. En lugar de transmitir la señal en sí, sería posible transmitir solo los coeficientes que representan la misma señal utilizando sus átomos.

La familia de funciones de Gabor se define por

${\displaystyle g_{\ell ,n}(x)=g(xa\ell )e^{2\pi ibnx},\quad \ell ,n\in \mathbb {Z} }$

donde a y b son constantes y g es una función fija en L ² ( R ) , tal que || g ||  =  1. Dependiendo de${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle g}$Un sistema de Gabor puede servir de base para L2 ( R ), que se define mediante traslaciones y modulaciones discretas. Esto es similar a un sistema de ondículas, que puede formar una base mediante la dilatación y la traslación de una ondícula madre ^.

Cuando uno toma

${\displaystyle g(t)=Ae^{-\pi t^{2}}}$

se obtiene el núcleo de la transformada de Gabor .

• Filtro de Gabor
• Ondícula de Gabor
• Análisis de Fourier
• Ondícula
• Ondícula de Morlet

• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: "Análisis y algoritmos de Gabor", Birkhäuser, 1998; ISBN 0-8176-3959-4
• Hans G. Feichtinger, Thomas Strohmer: "Avances en el análisis de Gabor", Birkhäuser, 2003; ISBN 0-8176-4239-0
• Karlheinz Gröchenig: "Fundamentos del análisis tiempo-frecuencia", Birkhäuser, 2001; ISBN 0-8176-4022-3

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