Teorema de Gabriel

En matemáticas , el teorema de Gabriel , demostrado por Pierre Gabriel , clasifica los carcajes de tipo finito en términos de diagramas de Dynkin .

Un carcaj es de tipo finito si solo tiene un número finito de clases de isomorfismo de representaciones indescomponibles. Gabriel (1972) clasificó todos los carcajes de tipo finito, así como sus representaciones indescomponibles. Más precisamente, el teorema de Gabriel establece que:

1. Un carcaj ( conectado ) es de tipo finito si y solo si su grafo subyacente (cuando se ignoran las direcciones de las flechas) es uno de los diagramas de Dynkin ADE :${\displaystyle A_{n}}$,${\displaystyle D_{n}}$,${\displaystyle E_{6}}$,${\displaystyle E_{7}}$,${\displaystyle E_{8}}$.
2. Las representaciones indescomponibles guardan una correspondencia biunívoca con las raíces positivas del sistema de raíces del diagrama de Dynkin. Específicamente, cada raíz positiva es una combinación positiva de raíces simples, y los coeficientes de su expansión coinciden con las dimensiones de los espacios vectoriales que la representación indescomponible tiene en los vértices del carcaj (dichos vértices se corresponden con las raíces simples).

Dlab y Ringel (1973) encontraron una generalización del teorema de Gabriel en la que aparecen todos los diagramas de Dynkin de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita . Victor Kac ( Kac (1983) ) extendió estos resultados a todos los carcajes, no solo de tipo Dynkin, relacionando sus representaciones indescomponibles con las raíces de las álgebras de Kac-Moody .

• Bernšteĭn, IN; Gelfand, IM; Ponomarev, VA (1973), "Functores de Coxeter y teorema de Gabriel", Russian Mathematical Surveys , 28 (2): 17– 32, Bibcode : 1973RuMaS..28...17B , CiteSeerX 10.1.1.642.2527 , doi : 10.1070/RM1973v028n02ABEH001526 , ISSN 0042-1316 , SEÑOR 0393065 , S2CID 250762677    
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), Sobre álgebras de tipo de representación finita , Apuntes de clase de matemáticas de Carleton, vol.  2, Departamento de Matemáticas, Universidad de Carleton, Ottawa, Ontario, MR 0347907 
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 : 71– 103, doi : 10.1007/BF01298413 , ISSN 0025-2611 , MR 0332887 , S2CID 119425731   
• Kac, Victor (1983), "Sistemas de raíces, representaciones de carcajes y teoría de invariantes", en Gherardelli, Francesco (ed.), Teoría de invariantes: actas de la 1.ª sesión de 1982 del Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), celebrada en Montecatini, Italia, del 10 al 18 de junio de 1982 , Lecture Notes in Mathematics 996, Springer, pp. 74–108 , ISBN  978-3-540-12319-4