Función de Gaisser-Hillas

La función de Gaisser-Hillas se utiliza en física de astropartículas . Parametriza la densidad de partículas longitudinales en una cascada atmosférica de rayos cósmicos . La función fue propuesta en 1977 por Thomas K. Gaisser y Anthony Michael Hillas . ^{[ 1 ]}

El número de partículas${\displaystyle N(X)}$en función de la profundidad atmosférica atravesada${\displaystyle X}$se expresa como

${\displaystyle N(X)=N_{\text{max}}\left({\frac {X-X_{0}}{X_{\text{max}}-X_{0}}}\right)^{\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}\exp \left({\frac {X_{\text{max}}-X}{\lambda }}\right),}$

dónde${\displaystyle N_{\text{máx}}}$es el número máximo de partículas observadas a profundidad${\displaystyle X_{\text{máx}}}$, y${\displaystyle X_{0}}$y${\displaystyle \lambda }$son parámetros primarios que dependen de la masa y la energía.

Utilizando sustituciones

${\displaystyle n={\frac {N}{N_{\text{max}}}}}$,     ${\displaystyle x={\frac {X-X_{0}}{\lambda }}}$     y     ${\displaystyle m={\frac {X_{\text{max}}-X_{0}}{\lambda }}}$

La función se puede escribir en una forma alternativa de un parámetro ( m ) ^{[ 2 ]} como

${\displaystyle n(x)=\left({\frac {x}{m}}\right)^{m}\exp(mx)={\frac {x^{m}\,e^{-x}}{m^{m}\,e^{-m}}}=\exp \left[m\,(\ln x-\ln m)-(xm)\right]\,.}$