Campo de división

Sea F un cuerpo y p ( X ) un polinomio en el anillo de polinomios F [ X ] de grado n . El proceso general para construir K , el cuerpo de descomposición de p ( X ) sobre F , es construir una cadena de cuerpos${\displaystyle F=K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{r-1}\subseteq K_{r}=K}$De tal forma que K _i es una extensión de K _{i −1} que contiene una nueva raíz de p ( X ). Dado que p ( X ) tiene como máximo n raíces, la construcción requerirá como máximo n extensiones. Los pasos para construir K _i se dan a continuación:

• Factoriza p ( X ) sobre K _i en factores irreducibles .${\displaystyle f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)}$.
• Elija cualquier factor irreducible no lineal f ( X ).
• Construye la extensión de campo K _{i +1} de K _i como el anillo cociente K _{i +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )) donde ( f ( X )) denota el ideal en K _i [ X ] generado por f ( X ).
• Repita el proceso para K _{i +1} hasta que p ( X ) sea completamente factorizable.

El factor irreducible f ( X ) utilizado en la construcción del cociente puede elegirse arbitrariamente. Si bien diferentes elecciones de factores pueden dar lugar a diferentes secuencias de subcampos, los campos de descomposición resultantes serán isomorfos.

Dado que f ( X ) es irreducible, ( f ( X )) es un ideal maximal de K _i [ X ] y K _i [ X ] / ( f ( X )) es, de hecho, un cuerpo, el cuerpo residual para ese ideal maximal. Además, si consideramos${\displaystyle \pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))}$sea ​​la proyección natural del anillo sobre su cociente entonces

${\displaystyle f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0}$

por lo tanto π ( X ) es una raíz de f ( X ) y de p ( X ).

El grado de una sola extensión${\displaystyle [K_{i+1}:K_{i}]}$es igual al grado del factor irreducible f ( X ). El grado de la extensión [ K  : F ] viene dado por${\displaystyle [K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]}$y es como máximo n !.

Como se mencionó anteriormente, el anillo cociente K _{i +1} = K _i [ X ]/( f ( X )) es un cuerpo cuando f ( X ) es irreducible. Sus elementos son de la forma

${\displaystyle c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}}$

donde los c _j están en K _i y α = π ( X ). (Si se considera K _{i +1} como un espacio vectorial sobre K _i, entonces las potencias α ^j para 0 ≤ j ≤ n −1 forman una base .)

Los elementos de K _{i +1} pueden considerarse como polinomios en α de grado menor que n . La suma en K _{i +1} viene dada por las reglas de la suma de polinomios, y la multiplicación viene dada por la multiplicación de polinomios módulo f ( X ). Es decir, para g ( α ) y h ( α ) en K _{i +1} su producto es g ( α ) h ( α ) = r (α) donde r ( X ) es el resto de g ( X ) h ( X ) cuando se divide por f ( X ) en K _i [ X ].

El resto r ( X ) se puede calcular mediante división larga de polinomios ; sin embargo, también hay una regla de reducción sencilla que se puede usar para calcular r ( α ) = g ( α ) h ( α ) directamente. Primero sea

${\displaystyle f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.}$

El polinomio está sobre un cuerpo, por lo que se puede tomar f ( X ) como mónico sin pérdida de generalidad . Ahora α es una raíz de f ( X ), por lo que

${\displaystyle \alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).}$

Si el producto g ( α ) h ( α ) tiene un término α ^m con m ≥ n, se puede reducir de la siguiente manera:

${\displaystyle \alpha ^{n}\alpha ^{mn}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{mn}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{mn})}$.

Como ejemplo de la regla de reducción, tomemos K _i = Q [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes racionales , y tomemos f ( X ) = X ⁷ − 2. Sea${\displaystyle g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}}$y h ( α ) = α ³ +1 sean dos elementos de Q [ X ]/( X ⁷ − 2). La regla de reducción dada por f ( X ) es α ⁷ = 2, por lo que

${\displaystyle g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .}$

Consideremos el anillo de polinomios R [ x ] y el polinomio irreducible x ² + 1. El anillo cociente R [ x ] / ( x ² + 1) está dado por la congruencia x ² ≡ −1. Como resultado, los elementos (o clases de equivalencia ) de R [ x ] / ( x ² + 1) son de la forma a + bx donde a y b pertenecen a R . Para ver esto, observemos que como x ² ≡ −1 se deduce que x ³ ≡ − x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x , etc.; y así, por ejemplo, p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r (−1) + s (− x ) = ( p − r ) + ( q − s ) x .

^{Las operaciones de} suma y multiplicación se dan utilizando primero la suma y multiplicación de polinomios ordinarias, pero luego reduciendo módulo ^x² + 1 , es ^decir , utilizando el hecho de que x² ^{≡ −1} , x³ ≡ −x , x⁴ ≡ 1 , x⁵ ≡ x , etc. Por lo tanto:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.}$

Si identificamos a + bx con ( a , b ), entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Afirmamos que, como cuerpo, el anillo cociente R [ x ] / ( x ² + 1) es isomorfo a los números complejos , C . Un número complejo general es de la forma a + bi , donde a y b son números reales e i ² = −1. La suma y la multiplicación están dadas por

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).}$

Si identificamos a + bi con ( a , b ), entonces vemos que la suma y la multiplicación están dadas por

${\displaystyle (a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),}$

${\displaystyle (a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).}$

Los cálculos anteriores muestran que la suma y la multiplicación se comportan de la misma manera en R [ x ] / ( x ² + 1) y C . De hecho, vemos que la aplicación entre R [ x ] / ( x ² + 1) y C dada por a + bx → a + bi es un homomorfismo con respecto a la suma y la multiplicación. También es obvio que la aplicación a + bx → a + bi es inyectiva y sobreyectiva ; lo que significa que a + bx → a + bi es un homomorfismo biyectivo , es decir, un isomorfismo . De ello se deduce que, como se afirma: R [ x ] / ( x ² + 1) ≅ C .

En 1847, Cauchy utilizó este enfoque para definir los números complejos. ^{[ 1 ]}

Sea K el cuerpo de los números racionales Q y p ( x ) = x ³ − 2 . Cada raíz de p es igual a${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$veces una raíz cúbica de la unidad . Por lo tanto, si denotamos las raíces cúbicas de la unidad por

${\displaystyle \omega _{1}=1,\,}$

${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,}$

${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.}$

cualquier campo que contenga dos raíces distintas de p contendrá el cociente entre dos raíces cúbicas distintas de la unidad. Dicho cociente es una raíz cúbica primitiva de la unidad, ya sea${\displaystyle \omega _{2}}$o${\displaystyle \omega _{3}=1/\omega _{2}}$De ello se deduce que un cuerpo de descomposición L de p contendrá ω ₂ , así como la raíz cúbica real de 2; recíprocamente , cualquier extensión de Q que contenga estos elementos contiene todas las raíces de p . Por lo tanto

${\displaystyle L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}}$

Tenga en cuenta que al aplicar el proceso de construcción descrito en la sección anterior a este ejemplo, se comienza con${\displaystyle K_{0}=\mathbf {Q} }$y construye el campo${\displaystyle K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)}$Este campo no es el campo de división, pero contiene una (cualquiera) raíz. Sin embargo, el polinomio${\displaystyle Y^{3}-2}$no es irreductible sobre${\displaystyle K_{1}}$ y de hecho:

${\displaystyle Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle X}$no es un indeterminado y, de hecho, es un elemento de${\displaystyle K_{1}}$. Ahora, continuando el proceso, obtenemos${\displaystyle K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})}$, que de hecho es el campo divisorio y está abarcado por el${\displaystyle \mathbf {Q} }$-base${\displaystyle \{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}}$. Observe que si comparamos esto con${\displaystyle L}$Desde arriba podemos identificar${\displaystyle X={\sqrt[{3}]{2}}}$y${\displaystyle Y=\omega _{2}}$.

• El campo de descomposición de x ^q − x sobre F _p es el único campo finito F _q para q = p ⁿ . ^{[ 2 ]} A veces este campo se denota por GF( q ).

• El cuerpo de descomposición de x ² + 1 sobre F ₇ es F ₄₉ ; el polinomio no tiene raíces en F ₇ , es decir, −1 no es un cuadrado allí, porque 7 no es congruente con 1 módulo 4. ^{[ 3 ]}

• El campo de descomposición de x ² − 1 sobre F ₇ es F ₇ ya que x ² − 1 = ( x + 1)( x − 1) ya se descompone en factores lineales.

• Calculamos el cuerpo de descomposición de f ( x ) = x ³ + x + 1 sobre F ₂ . Es fácil verificar que f ( x ) no tiene raíces en F ₂ ; por lo tanto, f ( x ) es irreducible en F ₂ [ x ]. Ponemos r = x + ( f ( x )) en F ₂ [ x ]/( f ( x )) de modo que F ₂ ( r ) es un cuerpo y x ³ + x + 1 = ( x + r )( x ² + ax + b ) en F ₂ ( r )[ x ]. Nótese que podemos escribir + por − ya que la característica es dos. Comparando los coeficientes se muestra que a = r y b = 1 + r ² . Los elementos de F ₂ ( r ) se pueden enumerar como c + dr + er ² , donde c , d , e están en F ₂ . Hay ocho elementos: 0, 1, ^r , 1 + r ^{, r², 1 + r², r + r²} y 1 + r ⁺ r² . Sustituyendo ^estos en x² + rx + 1 + ^r² llegamos a ( r² ) ^² + r ⁽ r² ) + ¹ + ^r² = r⁴ + r³ + ^{1 +} r² ^{= 0} , por lo tanto x³ + x + 1 = ( x + r ) ( x + r² )( x + ⁽ r + ^r² ) ) ^para ren F ₂ [ x ]/( f ( x )); E = F ₂ ( r ) es un campo de descomposición de x ³ + x + 1 sobre F ₂ .