Teorema de Gamas

El teorema de Gamas es un resultado en álgebra multilineal que establece las condiciones necesarias y suficientes para un tensor simetrizado por una representación irreducible del grupo simétrico.${\displaystyle S_{n}}$que es cero. Fue demostrado en 1988 por Carlos Gamas. ^{[ 1 ] Pate [ 2 ]} y Berget ^{[ 3 ]} han dado pruebas adicionales .

Dejar${\displaystyle V}$sea ​​un espacio vectorial complejo de dimensión finita y${\displaystyle \lambda }$ser una partición de${\displaystyle n}$. De la teoría de representación del grupo simétrico${\displaystyle S_{n}}$Se sabe que la partición${\displaystyle \lambda }$corresponde a una representación irreducible de${\displaystyle S_{n}}$. Dejar${\displaystyle \chi ^{\lambda }}$ser el carácter de esta representación. El tensor${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \dots \otimes v_{n}\in V^{\otimes n}}$simetrizado por${\displaystyle \chi ^{\lambda }}$se define como

$${\displaystyle {\frac {\chi ^{\lambda }(e)}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi ^{\lambda }(\sigma )v_{\sigma (1)}\otimes v_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (n)},}$$

dónde${\displaystyle e}$es el elemento de identidad de${\displaystyle S_{n}}$El teorema de Gamas establece que el tensor simetrizado anterior es distinto de cero si y solo si es posible particionar el conjunto de vectores.${\displaystyle \{v_{i}\}}$en conjuntos linealmente independientes cuyos tamaños están en biyección con las longitudes de las columnas de la partición.${\displaystyle \lambda }$.

• Combinatoria algebraica
• Inmanente
• polinomio de Schur