Distribución Gamma/Gompertz

En probabilidad y estadística , la distribución Gamma/Gompertz es una distribución de probabilidad continua . Se ha utilizado como modelo agregado de la vida útil del cliente y como modelo de riesgos de mortalidad.

Especificación

La función de densidad de probabilidad de la distribución Gamma/Gompertz es:

f(x;b,s,\beta )={\frac {bse^{bx}\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s+1}}}

dónde $b>0$ es el parámetro de escala y $\beta ,s>0\,\!$ son los parámetros de forma de la distribución Gamma/Gompertz.

La función de distribución acumulativa de la distribución Gamma/Gompertz es:

{\begin{aligned}F(x;b,s,\beta )&=1-{\frac {\beta ^{s}}{\left(\beta -1+e^{bx}\right)^{s}}},{\ }x>0,{\ }b,s,\beta >0\\[6pt]&=1-e^{-bsx},{\ }\beta =1\\\end{aligned}}

La función generadora de momentos viene dada por:

{\begin{aligned}{\text{E}}(e^{-tx})={\begin{cases}\displaystyle \beta ^{s}{\frac {sb}{t+sb}}{\ }{_{2}{\text{F}}_{1}}(s+1,(t/b)+s;(t/b)+s+1;1-\beta ),&\beta \neq 1;\\\displaystyle {\frac {sb}{t+sb}},&\beta =1.\end{cases}}\end{aligned}}

dónde ${_{2}{\text{F}}_{1}}(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }[(a)_{k}(b)_{k}/(c)_{k}]z^{k}/k!$ es una función hipergeométrica .

La distribución Gamma/Gompertz es una distribución flexible que puede estar sesgada hacia la derecha o hacia la izquierda.

Cuando β = 1, esto se reduce a una distribución exponencial con parámetro sb .
La distribución gamma es una conjugada natural previa a una función de verosimilitud de Gompertz con un parámetro de escala conocido. $b\,\!.$ ^{[ 1 ]}
Cuando el parámetro de forma $\eta \,\!$ de una distribución de Gompertz varía según una distribución gamma con parámetro de forma $\alpha \,\!$ y parámetro de escala $\beta \,\!$ (media = $\alpha /\beta \,\!$ ), la distribución de $x$ es Gamma/Gompertz. ^{[ 1 ]}

Bemmaor, Albert C.; Glady, Nicolas (2012). «Modelado del comportamiento de compra con "muerte" repentina: un modelo flexible del ciclo de vida del cliente» . Management Science . 58 (5): 1012– 1021. doi : 10.1287/mnsc.1110.1461 . Archivado del original el 26 de junio de 2015.
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Gompertz, B. (1825). "Sobre la naturaleza de la función que expresa la ley de la mortalidad humana y sobre un nuevo modo de determinar el valor de las contingencias de la vida" . Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 115 : 513–583 . doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR 107756. S2CID 145157003 .
Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1995). Distribuciones univariadas continuas . Vol. 2 (2.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 25–26 . ISBN 0-471-58494-0.
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